Беляев Игорь Петрович (МФТИ)

            МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

   Под ПРИНЯТИЕМ РЕШЕНИЯ в общем случае следует  понимать  разработку плана действий по выходу из проблемной ситуации.
   Под проблемной ситуацией понимается такое положение вещей, которое не  устраивает  субъекта,  а  его  изменение  требует  специальных усилий, связанных с разрешением проблемы. При этом  различаются проблема и задача с точки зрения наличия средств из  решения: для решения задачи имеются стандартные методы.
   Под планом действий имеется в  виду  последовательность  (м.б. разветвленная) действий, расписанная по времени реализации.
   Графически план может быть представлен сетевым графиком.
   Анализ предметной области в интересах создания  процедур  поддержки деятельности лиц, принимающих решения на  этой  предметной области, ведется, как анализ сущностей (концептов),  определяющих предметную область, установление связей между ними и  определение процедур и процессов, протекающих на  выявленной  структуре.  Для выявления концептов и связывающих их процессов можно применить либо экспертные методы, методы извлечения знаний, либо методы логико-лингвистического  анализа.

            Логико-лингвистическая модель принятия решений

 Логико-лингвистический анализ может  быть  проведен,  исходя  из анализа ключевых слов и определяемой  ими  структуры  классов  на предметной области. Множество ключевых слов A, определяющих предметную область, можно разделить  на  классы  эквивалентности  Ai, i=1,2,...I по некоторому системообразующему признаку.  Это  означает, что эти классы должны выражать  сущности,  характерные  для всех предметных областей. И выявляются классы на основании содержательного анализа. На множестве классов или концептов {Ai}  можно выявить логические связи путем несложного статистического анализа. Для этого строится квадратная матрица M с  элементами  mlk, l,k=1,2,...I. Значение mlk равно числу  связей  между  элементами классов Al и Ak. При этом семантическая связь между Al и Ak  считается достоверно установленной, если mlk > m0. Здесь m0  некоторое наперед заданное число (как показала практика, m0 > 0,3); при этом mlk нормируются на единицу, то есть
                         mlk
                  mlk'= ------
                        Nl*Nk

где Nl, Nk - число элементов в классах Al и Ak.
   Полученный граф с вершинами Ai и дугами <Al,Ak> описывает наиболее общие связи на предметной области. Сквозной  содержательный анализ ряда предметных областей позволил построить граф следующего вида:

субъект

Объект воздействия

Внеш-няя среда

характеристика

Состоя-ние

способы

действия

средства

ресурсы

Цели, задачи

Знания, опыт

информация

характеристика

состтояние

характеристика

Состоя-ние

решение

   Представленные на схеме классы  представляют  собой  различные категории понятий, описывающих предметную область. Это и  субъект (лицо, принимающее решение) и объект воздействия, и  среда  и  их характеристики. Полученная модель  описывает  структуру  процесса принятия решений, который является  центральным  практически  для любой области человеческой деятельности. Эта структура  интерпретируется следующим образом: исходя из стоящих перед ним  целей  и задач, имеющихся знаний и опыта и на основе располагаемой  информации, СУБЪЕКТ принимает решение. Решение включает такие  элементы, как способы и пути воздействия на ОБЪЕКТ, перечень  необходимых при реализации решения  действий,  средства  воздействия,  и необходимые для реализации решения ресурсы. По мере изменения характеристик и состояния внешней среды, влияющей на ОБЪЕКТ воздействия, через обратную связь поступает  информация  к  СУБЪЕКТУ  о реализации решения в виде характеристик и  параметров  состояния ОБЪЕКТА воздействия.
   Обратим внимание на то, что в структуре  РЕШЕНИЯ  имеются  две диады : "способы-действия" и "средства-ресурсы". Эти диады содержат взаимодополняющие понятия: способ - это по сути некоторый набор предписаний, а  действие - конкретная реализация.  Также  как средства - это форма воздействия в целях  реализации  компонентов решения, а ресурсы - это то, что обеспечит  реализацию  (людские, материальные, временные, финансовые и т.п.).
   Понятно, что в конкретной предметной области могут быть  представлены не все 16 классов, показанных на схеме. Список по  четырем предметным областям приведен ниже:

------------------------T--------T--------T--------T--------¬
 Название класса        ¦Охрана  ¦Охрана  ¦Здоровье¦Обществ.¦
                        ¦окруж.  ¦труда   ¦ на-    ¦здоровье¦
                        ¦среды   ¦        ¦селения ¦        ¦
------------------------+--------+--------+--------+--------+
Объект водействия       ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦
Субъект                 ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦
Среда                   ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦
Действия(процессы)      ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦
Средства                ¦   +    ¦        ¦   +    ¦        ¦
Способы,пути            ¦   +    ¦        ¦        ¦        ¦
Ресурсы                 ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦   +    ¦
Характеристики объекта  ¦   +    ¦        ¦        ¦        ¦
Состояние объекта       ¦   +    ¦        ¦   +    ¦        ¦
Характеристики субъекта ¦   +    ¦        ¦   +    ¦   +    ¦
Состояние субъекта      ¦   +    ¦        ¦        ¦   +    ¦
Знания, опыт            ¦   +    ¦        ¦        ¦        ¦
Информация              ¦        ¦   +    ¦        ¦        ¦
Определения             ¦        ¦   +    ¦   +    ¦        ¦
Цели, задачи            ¦   +    ¦        ¦        ¦        ¦
Состояние среды         ¦   +    ¦   +    ¦        ¦        ¦
Характеристики среды    ¦   +    ¦   +    ¦        ¦        ¦
                        ¦        ¦        ¦        ¦        ¦
------------------------+--------+--------+--------+---------

   Анализ при веденной таблицы показывает, что в обязательном порядке присутствуют пять классов объектов: субъект, объект,  среда, действия и ресурсы. Поэтому ядром схемы принятия решений  является следующая:

субъект

Объект воздействия

Внеш-няя среда

действия

ресурсы

   Логико-лингвистическая модель позволяет  наглядно  представить множество классов объектов предметных областей, определяющих процедуру принятия решений и связей между ними. То есть это декомпозиция предметной области на компоненты, занятые в принятии  решений. То есть это структура, статическая  модель.  Динамика  появляется тогда, когда начинает работать такой параметр, как  время.
Время здесь определяет порядок подключения к  процедуре  принятия решений необходимых классов и объектов, выстраивание их в  последовательность принятия решения.

              Причинно-следственная модель принятия решений

   В основе любого успешного процесса принятия решения лежит выдвинутый акад. В.М.Глушковым принцип первого лица. Суть его заключается в том, что в успехе принятия решений должен быть заинтересован руководитель самого верхнего уровня; только при его  непосредственной поддержке возможна успешная  реализация  процедур поддержки принятия решений. Организуемый первым лицом (лицом, принимающим решения - ЛПР) процесс  принятия  решений  поддерживается персоналом информационно, организационно  и  аналитически. Знание этапов и элементов этого процесса, а  также  связей  между ними позволяет эффективно организовать  информационно-аналитическую поддержку вычислительными средствами.
    Модель принятия решений можно в общем  виде  представить  как процесс представленный ниже. Здесь ЛПР – лицо, принимающее решения. ЛОР – лица, обеспечивающие решения. Проходя по процессной схеме (преобразование входных объектов в выходные – прямоугольники на схеме, обозначается овалом. Овал разделен на верхнюю часть, в которой прописан процессор, и на нижнюю, в которой прописан собственно процесс.), нетрудно проследить общий ход процедуры принятия решения в самом общем виде – от постановки проблемы, и до реализации выработанного решения.

проблема

ЛПР
Постановка цели

цель

указания

ЛОР
Сбор информации

Элементы ситуации

Предварительные оценки

ограничения

запрос

Компьютер

Моделирование ситуации

Модель ситуации

ЛПР
Оценка ситуации

Замысел решения

ЛОР

Формирование альтернатив

альтернативы

ограничения

ресурсы

Компьютер

Оценка альтернатив

Результат оценки

ЛПР

Принятие решения

ресурсы

ограничения

решение

Сценарий реализации

ЛОР
Реализация решения

результаты

ЛПР
Оценка эф-фективности

выводы

коррективы

   Под ПРИНЯТИЕМ РЕШЕНИЯ в узком смысле (многокритериального  выбора) понимают особый вид человеческой  деятельности,  направленный на выбор лучшей из имеющихся альтернатив.
    Методы многокритериального анализа являются более мягкими  по сравнению с методами исследования операций, исторически  появившимися раньше. В рамках  теории  исследования  операций,  которая формальными методами моделирует экономические, военные, технические и другие реально протекающие процессы, для поиска оптимального решения необходимо явным образом определить  целевую  функцию, оптимум которой при выполнении ряда ограничений  и  даст  искомое оптимальное решение. При этом сложности имеются как при определении целевой функции, описывающей процессы, определяющие  предметную область, так и при разработке метода решения поставленной оптимизационной задачи. Поиск таких методов привел к  возникновению математического программирования и теории оптимизации.
   Более мягкие методы многокритериального анализа исходят из гипотезы, что человек принимает решение, сравнивая между собой  ряд вариантов. Сравнение идет с использованием целого ряда  критериев оценки качества альтернативных вариантов.
Рассмотренная выше психологическая структура процесса принятия решений может быть представлена последовательной схемой (рис.3), представляющей развертку одного цикла деятельности, показанного на рис.2. Эта схема, по сути дела, является основанием для формальной модели многокритериального выбора, ныне общепринятой в качестве основной модели принятия решений как в системном анализе, так и в математической психологии. В рамках этой модели «борьба мотивов», как реализация волевого акта принятия решения, интерпретируется как оценка множества мотивов по многим критериям и выбор наиболее значимого для субъекта выбора на данный момент. Еще раз отметим роль эмоций как одного из ведущих факторов отбора ведущего мотива с учетом вероятности достижения цели.

нужды

осознание

потребнос               ти

актуализация

мотивы

оценка

выбор

цель

средства

реализация

Рис. 3

Формально модель принятия решений в смысле интерпретации собственно акта выбора описывается теорией многокритериального выбора (например: Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М. Логос, 2000, Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений, М. Знание, 1985). Под ПРИНЯТИЕМ РЕШЕНИЯ в смысле многокритериального выбора понимают особый вид человеческой деятельности, направленный на выбор лучшей из имеющихся альтернатив.
Формально традиционная методика многокритериального анализа представляется следующей схемой (И.П.Беляев, Е.А.Трофимов. Системы поддержки принятия решений):

пусть имеются альтернативы достижения цели (решения проблемы) а1, а2, ..., an
пусть лицом принимающим решение (ЛПР) выделены критерии  оценки альтернатив q1, q2,..., qm и пусть определены коэффициенты важности критериев (например, на основе парных сравнений) w1, w2,...,wm
каждой из альтернатив ЛПР выносит оценки по всему спектру критериев xij, что можно представить таблицей вида:

	a1	a2	a3	...	an		
q1	x11	x12	x13	...	x1n	w1	
q2	x21	x22	x23	...	x2n	w2	
q3	x31	x32	x33	...	x3n	w3	
...	...	...	...	...	...	...	
qm	xm1	xm2	xm3	...	xmn	wm	
	U1	U2	U3		Un		

И тогда глобальная полезность для каждой из оцениваемых альтернатив aj выражается как

                    U = F(X,W),

где X - вектор оценок xij, i=1,m; W - вектор весов критериев wi, F - функция свертки локальных оценок (например, взвешенная сумма – сумма произведений оценок альтернативы на вес критерия 
            m
Uj  = ∑ xij wi       ),
            i=1
которая ставит в соответствие каждой из альтернатив соответствующее значение функции полезности U. Отметим, что метод взвешенных сумм представляется наиболее естественным и интуитивно понятным.
   При реализации в виде реально  работающих  процедур  описанная схема многокритериального анализа требует, чтобы лицо,  принимающее решения (ЛПР) определило перечень критериев и для каждого  из них - метод измерения предпочтений по этому критерию, как  правило на числовой  шкале  (относительной  или  интервальной),  далее необходимо вынести оценки каждой их альтернатив ai по каждому  из критериев qj  - xij (как правило, в баллах или процентах), а также необходимо определить значения относительных важностей  критериев wl. При этом важно определить вид глобальной функции  полезности альтернатив F(X,W). Формально можно показать что, в  случае выполнения ряда аксиом (транзитивности и слабого порядка,  устранения ненормальностей в предпочтениях, независимости по  предпочтениям) F(X,W) имеет  вид  взвешенной  суммы.  Но  доказательство справедливости этих аксиом для практически важных и сложных случаев - дело непомерно сложное, требующее от ЛПР значительных затрат времени, умственных усилий. Поэтому на практике пытались применить или аналоги аксиоматических методов, или методы,  где  априорно принималось выполнение как ряда аксиом. Но все эти  методы предъявляют к ЛПР слишком завышенные требования по определению  в малопривычном для него виде параметров, и как правило,  в  числовом виде. Попытка уйти от этой схемы с помощью моделирования мыслительных процессов методами искусственного интеллекта привела  к появлению экспертных систем. В  экспертных  системах,  основанных как на наиболее популярном представлении знаний  в  форме  правил продукций, так и в форме фреймов, или исчислении предикатов,  делается попытка получения решения на основе  формализованных  знаний экспертов в конкретных предметных областях. Несмотря на  всю привлекательность попытки получения решения на основе использования баз знаний и построения цепочек вывода, процедура  извлечения знаний оказалась слишком тяжелой и непривлекательной для ЛПР во многих предметных областях. Основными применениями экспертных систем, и других систем, основанных на знаниях являются области технической диагностики, распознавания образов, робототехника.
   Итак, при применении большинства  методов  многокритериального анализа возникают две основные проблемы: как получить  оценки  по отдельным критериям и как объединить, агрегировать эти  оценки  в общую оценку полезности альтернативы.
    Под КРИТЕРИЕМ мы будем понимать способ оценки и сравнения некоторого качества анализируемых альтернатив (вариантов) решения.
    Например, варианты можно оценивать по их стоимости, надежности, дизайну и т.п.
   При применении формальных методов оценки альтернатив чаще всего используются балльные шкалы (например, от 1 до 10). Оценки чаще всего выносят эксперты, мнения которых затем сводятся  к  единой оценке. Например, с применением метода ранжирования.

С точки зрения системного анализа, модель многокритериального выбора имеет важное методологическое значение. Во-первых, необходимо осознать и выделить стоящую перед нами проблему. Для этого необходимо достаточно четко описать проблемную область, поставить цель, предложить варианты решения – альтернативы. И чем богаче множество альтернатив, тем выше вероятность получения более качественного решения. Нужно осознать, явно обозначить и определить критерии оценки и отбора альтернатив. Эта методическая работа позволяет явным образом обозначить и описать полигон для обсуждения и принятия решения, сделать его ясным и понятным другим, то есть при необходимости заложить основу совместной согласованной деятельности путем перевода процедуры принятия решения из внутренней формы во внешнюю, подлежащую оценке и обсуждению. Такой последовательный подход позволяет перейти от эмоциональных оценок к рациональным, перейти при общении на деловой и обоснованный стиль общения. По сути это осознанный перевод проблем принятия решений из формы внутреннего диалога во внешний.
Явное обсуждение альтернатив решения, критериев оценки и их важностей дает возможность рассмотреть различные точки зрения в единой шкале, в рамках единого подхода.

 Моделирование проблемной ситуации

Введем следующие определения:
1.	Под событием будем понимать элементарную смысловую единицу описания предметной среды. Например «идет дождь». Обозначение Ea, Eb, Ec 
2.	Под фактом будем понимать реализацию некоторого события в форме логического описания вида <факт имеет место> или <факт не имеет места>. Например <идет дождь = да>. Обозначение. Fa, Fb, Fc
3.	Под сценой будем понимать набор событий, связанных логическими операторами И, ИЛИ, НЕ. Обозначение Sabc, Sabc = Fa*Fb*Fc, где * - один из перечисленных выше логических операторов. Например,  <идет дождь = да> И <светит солнце = да>
4.	Под правилом (правилом продукций) будем понимать выражение вида:

         ЕСЛИ S1 , ТО S2, 

где S1 – сцена условия, а S2  сцена вывода. Каждое из правил помечается слева уникальным номером вида Rn.m, где n – номер правила, а m – номер предметной области. Например

R15.7  ЕСЛИ <идет дождь = да> ИЛИ <идет мокрый снег = да>, 
            ТО <наличие зонта = да> ИЛИ <наличие плаща = да> ИЛИ <выйти из дома = нет>
Отметим, что в отличие от стандартного описания правил продукций здесь мы допускаем альтернативность фактов (выводов) в констатирующей части правил. То есть мы ввели возможность порождения некоторых альтернатив. Для построения логической цепочки (цепочки вывода) можно или считать данное правило вершиной ветвления, то есть строить самостоятельные цепочки исходя из каждого факта констатирующей части, или строить логический вывод на основании выбора наиболее значимого факта – наилучшей альтернативы. Это собственно и является основной задачей многокритериального анализа. В самом простом случае соответствующие веса фактов Wa, Wb, Wc извлекаются из базы данных (заполненной по результатам предыдущего опыта) или вычисляются пользователем путем заполнения матрицы парных сравнений, например, по методике Т.Саати. Для этого пользователю предлагается провести серию последовательных попарных сравнений важности в данной ситуации Fa по сравнению с Fb, затем Fa по сравнении с Fc и т.д.То есть в общем случае заполняется матрица вида:
	Fa1	Fa2	…	Fak	
Fa1	Ya1a1	Ya1a2	…	Ya1ak	
Fa2	Ya2a1	Y a2a2	…	Ya2ak	
…	…	…	…	…	
Fak	Yaka1	Yaka2	…	Yakak	
где Yaiaj результат сравнения по важности факта Fai с фактом Faj, равный

                                1, если Fai равнозначен Faj
                                3, если Fai важнее Faj
        Yaiaj =              5, если Fai  значительно важнее Faj
                                7, если Fai безусловно важнее Faj
                                9, если Fai абсолютно важнее Faj 
и Yaiaj = 1/ Yajai. Весовые коэффициенты фактов вычисляются как корень степени k из произведения коэффициентов парных сравнений по строке. Затем производится нормировка полученных чисел на единицу.

 Некоторые методы воздействия на ЛПР

С использованием введенных выше определений можно провести, например, классификацию и анализ некоторых методов формирования описаний проблемной ситуации с целью направленного воздействия на субъекта принятия решения.. 
1. Воздействие, связанное с изменением значения факта и/или подменой одного факта другим. Например вес некоторого факта объявляется незначительным, пренебрежимо малым («А, ерунда это !»), вместо него вводится другой, а цепочка вывода запускается по тем же логическим связкам. Например, заменить <хотел позвонить = да> на <позвонил = да>, или <получил положительную оценку = нет> на <получил положительную оценку = да>.
2. Воздействие, связанное с добавлением ложного факта. Например, при неурожае помидоров обнародовать исследования о вредном влиянии томатов на уровень холестерина в крови. 
3. Воздействие, связанное с изъятием некоторого факта. Например, при проведении предвыборной кампании «опустить» негативные факты из биографии кандидата.
4. Воздействие, связанное с изменением относительных весов фактов. Например, вес факта <наличие вредных выбросов = да> посчитать пренебрежимо малым по сравнению с экономической выгодой.
5. Воздействие, связанное с заменой типа (типов) логических операторов в условной части правила. Например <собрать документы = да> ИЛИ <дать взятку = да> - на < собрать документы = да > И < дать взятку = да >

Возможные источники заблуждений при принятии решений

Рассмотрим теперь источники заблуждений и некоторые методы навязывания мнений:
1. Преждевременное обобщение. Это случай, когда в основу рассуждений полагается некоторая сцена Sabcdef, например, только на основании того, что подтверждено наличие лишь части фактов из полного перечня, например Fa, Fc из всего перечня 
2. Рассуждения по аналогии. Под аналогией понимается сходство объектов в некотором отношении. Пусть имеются сцены Sabcdef и Salcdmnkz. Общими для них будут факты Fa, Fc, Fd. И на основе того, что отработана логическая цепочка, исходной сценой которой будет сцена Sabcdef, полагается ее справедливость для Salcdmnkz.
3. Ассоциация. Если в сцене Sabcdef факты Fa, Fb, Fc были связаны определенными логическими операторами , например, Fa И Fb ИЛИ Fc, то и в сцене Sabclmp, относительно которой нет точного знания, эти же факты априорно связываются тем же набором логических операторов.
Можно заблуждаться, но можно и преднамеренно ввести в заблуждение. Механизм ввода в заблуждение можно рассматривать, как манипулирование весами фактов, определяющих данную сцену. При преждевременном обобщении (см. п1) это выражается в том, что веса фактов Fa, Fc - Wa, Wc полагаются значительно большими, чем веса всех остальных фактов, то есть полагают, что Wi >> Wj , где i=a,c, j = b,d,e,f. Например, приписать такому факту, как национальная принадлежность, наибольший вес, а потом построить ложную цепочку выводов о виновности в собственных бедах представителей некоторой национальности. При выстраивании ложной аналогии полагают (преднамеренно, если ложная аналогия служит средством манипулирования действиями других субъектов), что (см. п.2), например веса фактов Fa, Fc, Fd значительно превосходят веса всех других фактов аналогируемых сцен, то есть Wi >> Wj , где i=a,c,d, j = b,e,f,l,m,n,k,z. Например, провести аналогию между «десятью заповедями» и «кодексом строителя коммунизма» и сделать вывод о том, что получим возможность дать всем «по потребностям». 
Понятно, что критериев оценки событий великое множеств, перечни оценок также отличаются, и люди могут не понимать друг друга просто потому, что имеют несовпадающие множества критериев оценки одного и того же события. Кроме того, при совпадающем перечне критериев оценки сами оценки могут не совпадать, или пересекаться слабо. Оценка «денег не хватает» в устах бабушки-пенсионерки и хозяина автозаправки имеют несовпадающие кривые. Они просто определены в разных областях горизонтальной оси.

 Методы генерации альтернатив

Качество решения во многом зависит от качества информации о проблемной ситуации S, то есть от богатства и достоверности определяющих ее фактов. Информация должна быть полной, точной (достоверной) и своевременной (актуальной). Факты должны отбираться по важности (wi > w*, где w* - нижняя граница) относительно достижения цели, дабы не делать картину информационно избыточной. Не следует забывать того фундаментального обстоятельства, что объем кратковременной памяти человека ограничен числом 7+_2 информационных единиц.
Качество решения зависит от достаточности, полноты множества вариантов решения {ai}. Генерация вариантов решения на основе анализа ситуации S, формально описывается правилом
ЕСЛИ S,
ТО( a1 )ИЛИ( a2 )ИЛИ … ИЛИ( an )
и осуществляется в процедуре внешнего (Ko) и/или внутреннего (Ki) консалтинга. Внутренний консалтинг состоит в мобилизации собственного опыта принятия решений и соответствующих знаний. 
Внешний (коммуникативные методы) и внутренний (морфологический анализ и текстологические методы) консалтинг перемежаются при генерации альтернатив. Прежде, чем обращаться к помощи экспертов, необходимо осознать проблему, мобилизовать собственный опыт и знания, что условно показано стрелками переходов на схеме:

                                                                                Ki

                                                                               Ko

Перечислим теперь некоторые содержательные методы порождения (генерации) альтернатив.

Метод морфологического анализа.

Морфологический анализ, автором которого является Ф.Цвики, как и все аналитические методы, основан на разбиении задачи (проблемы) на части, каждая из которых может быть в свою очередь детализирована. И для каждой из частей ищутся варианты реализации или как элементы новизны, или как элементы заимствования из других проблемных областей. Далее решение собирается (синтезируется) поэлементно. Формально проблема P разбивается на элементы Pi, i=1,...N, которые также могут быть подвергнуты дальнейшей детализации (как условно показано ниже). Для каждого из элементов Pi подбираются варианты реализации Vk(Pi). В свою очередь, элементы Pi, i=1,...N могут подвергаться дальнейшей детализации, фрагмент которой для двухуровневой иерархии показан ниже.
Дальнейшее развитие и обобщение на трехмерный случай (пирамида понятий) метод морфологического анализа получил в работах В.М.Капустяна (например, «Конструктору о конструировании атомной техники»).

Варианты реализации элементов	
P1	V1(P1)	V2(P1)	…	Vk1(P1)	
P2	V1(P2)	V2(P2)	…	Vk2(P2)	
…	…	…	…	…	
PN	V1(Pi)	V2(PN)	…	VkN (PN)	

Варианты реализации элементов	
P11	V1(P11)		…	Vk11(P11)	
P12	V1(P12)		…	Vk2(P12)	
…	…		…	…	
P1N1	V1(P1 N1)		…	VkN1 (P1N1)	

И затем новый вариант (новая альтернатива решения) набирается как объединение компонентов, которые выбираются по одному из каждой строки морфологической таблицы:
               N
A(P)=U Vl(Pi)
          i=1

Таким образом, новизна может возникнуть по минимуму в одном элементе необходимого уровня детализации. В зависимости от привнесенной степени новизны в вариант решения в целом он может объявляться или полностью новым, или модификацией известных.
Естественно, здесь возникает много проблем синтеза варианта решения – таких, как совместимость элементов решения, поиск оптимальных и т.п. 
Отметим, что поиск вариантов может содержать такие составляющие как творческое порождение (изобретение) принципиально новых вариантов компонент или решения в целом, так и комбинирование на основании данных из специально собираемых картотек, каталогов или машинно-ориентированных баз данных. 

 Коммуникативные методы

Это группа известных методов получения экспертных данных (работы с экспертами). Эти методы изучает как когнитология (и инженерия знаний), так и научное направление по работе с экспертными оценками. Коммуникативные методы подразделяются на индивидуальные – когда варианты решения генерирует единственный эксперт, и групповые. К индивидуальным методам относится, например, анкетирование, интервью, диалог. Более плодотворными в смысле порождения альтернатив являются групповые методы. Это, в первую очередь, мозговой штурм – когда в условиях отсутствия критики порождаются любые, казалось бы, даже самые дикие варианты. Другая известная группа методов – деловые игры, а также метод круглого стола. Особенно эффективным является игровой подход, в рамках которого организуется конкурентное взаимодействие групп экспертов. Например, сильно отличающихся по возрасту и опыту работы. Здесь более молодые, активные и напористые заставляют своими резкими и часто необоснованными суждениями полезно работать более опытных экспертов.

 Текстологические методы

К этой группе методов относятся методы работы с различного рода документацией. Сюда же можно отнести поисковые методы работы с Internet, отраслевыми, городскими и другими базами данных. Это также методы работы с рекламными материалами, накопление и анализ сообщений прессы, радио и телевидения.

 Методы порождения и отбора критериев

Когда цель поставлена и рассматриваются альтернативные варианты ее достижения ai, i=1,...,n, то их очевидно можно рассматривать как некоторые объекты типа A. По-другому быть не может, так как отбор наилучшего варианта предполагает их сравнение, то есть выделение типовых, общих для всех вариантов качеств. Можно сказать, что выделяются определяющие, с точки зрения достижения цели P, свойства объекта типа A и сравниваются его экземпляры ai, i=1,...,n. Объект A характеризуется некоторым набором качеств (свойств), которые проявляются через возможные действия с объектом, необходимые для достижения поставленной цели P. То есть с A связан набор возможных целесообразных действий D = {di}. Отдельное действие с экземпляром объекта ai относительно достижения цели порождает конкретную оценку соответствующей характеристики, качество которой и оценивается по некоторому критерию. То есть множество необходимых действий с объектом порождает множество критериев оценки их результатов:

D(A) → Q, где Q = {qj} – множество критериев

Это общее правило, так как только через действия с объектом мы можем понять и оценить его свойства или характеристики. Понятно, что в основе возможных действий над объектом лежат актуальные для субъекта принятия решений потребности. Например, при покупке автомобиля субъект, нуждающийся в надежном транспортном средстве будет оценивать в первую очередь его надежность (как часто надо ремонтировать), грузоподъемность (сколько груза и пассажиров можно перевезти). Если же субъект выбирает автомобиль в качестве средства самоутверждения (престижности), то его в первую очередь интересует внешний вид и цвет (лестные отзывы), комфорт (удобства при поездке) и т.п.
Итак, коротко формула порождения критериев оценки качеств альтернатив сводится к тому, что необходимо ответить на вопросы «что возможно делать с объектом?» для достижения цели P, порождаемой актуальной на данный момент доминирующей потребностью R и сопутствующими ей: R → {Rk}.

 Типология решений

Но вот цель выбрана, то есть РЕШЕНИЕ ПРИНЯТО. Дальше необходимо выбрать СРЕДСТВА для ее осуществления. К целям можно прийти разными путями.
Человека характеризуют не только цели, к которым он стремиться, но и средства, которые он выбирает для их достижения (честные или не очень, к примеру). Связка ЦЕЛИ-СРЕДСТВА составляет суть задач, которые решает человек в ходе своей  деятельности. Выбор цели может регламентироваться доступными (по моральным или материальным соображениям) средствами, то есть ограничениями деятельности. Формально такая связка берется в качестве методологической основы для построения моделей теории исследования операций.
По тому, как человек принимает решения, можно судить о такой особенности воли, как РЕШИТЕЛЬНОСТЬ. Решительные люди принимают решения быстро, без дополнительных колебаний. Решительность особенно важна в тех случаях, когда от своевременности принятия  решения зависит успех дела. Но не надо путать решительность с торопливостью - "Семь раз отмерь - один раз отрежь". Как раз нерешительность характеризуется свойством только "отмерять", но боязнью "отрезать".
Но вот цели ясны, средства выбраны. И здесь начинается самый главный этап волевого действия - ИСПОЛНЕНИЕ ПРИНЯТЫХ РЕШЕНИЙ. Без этого вообще нет волевого действия и все предыдущие усилия и размышления оказываются напрасными. Настойчивость, сила  воли  нужны для доведения действия до конца. Итак, воля проявляется не только и не столько в акте принятия решения, но и в настойчивости и  воле реализовать его на практике. Известно, что многие военные герои, люди, решившиеся на героический, но одномоментный  поступок, в обыденной жизни, требующей воли в реализации повседневных решений, отходили на второй план, или вовсе не находили своего места в жизни.
Как принятие решений в ходе рационального выбора, так и реализация решений опираются в первую очередь на некоторый запас знаний о предмете принятия решений, которые имеются у данного лица, принимающего решение. Операциональность знаний заключается в том, что основным элементом соответствующих сложных структурных образований (энграмм) является базовая пара «объект – действие» (или – «объект – процесс»). Основа знаний в том чтобы представлять, «что с этим делать?». Овладение знаниями заключается в первую очередь в приобретении операциональной вооруженности, то есть готовности к поступку в проблемной ситуации.
Поскольку мы говорим о знаниях, то имеем в виду сложно организованную систему взаимоувязанных, взаимодополняющих и согласованных данных из некоторой предметной области.  Решительность в принятии и реализации решения опирается прежде всего на уверенность в адекватности, полноте и замкнутости той системы знаний, или модели предметной области, которой обладает (владеет) данный субъект принятия решения. Именно необходимость полноты и замкнутости модели знаний приводят к тому, что вакантные в пирамиде знаний места заполняются или за счет пополнения сведениями из письменных источников, или за счет собственных исследований, или за счет мифологизации действительности. И здесь вакансии в пирамиде знаний (пирамиде понятий) могут заполняться за счет мнений авторитетных лиц, за счет собственных гипотез, или собственных умозаключений и других заимствований. Но субъект стремится замкнуть, сделать субъективно полной свою модель предметной области как необходимый для уверенного принятия решений познавательный фундамент. Соответственно в осях «полнота модели ПО – уверенность» можно построить различительную сетку типов принятия решений. Поясняющая сказанное схема приведена на рис. 5.

Замкнутость модели ПО

Полноценное ПР

Интуитивное ПР

Рациональное ПР

Импульсивное ПР

неуверенность

Открытость

уверенность

Рис. 5
Импульсивное принятие решений характерно для ситуации, когда субъект принятия решения не владеет информацией о предметной области и неуверен в себе. Если, обратно, субъект владеет информацией, или по крайней мере, считает, что обладает полной моделью  ситуации и уверен в своих действиях, то он принимает полноценное, продуманное и уверенное решение. Интуитивное решение характерно для случая уверенности в своих силах, но при отсутствии осознанной, как законченная и полная, модели ситуации.
Показанная на рисунке 5 спираль характеризует развитие навыков принятия решений. В любой сфере деятельности вначале бывает неуверенность, но если существует некоторая насущная потребность, то ее удовлетворение потребует принятия соответствующего решения, для чего познавательная сфера субъекта должна быть открытой для пополнения. По мере накопления знаний появляется уверенность, а затем, после того, как на базе накопленных знаний последуют успешно принятые решения, модель мира – модель предметной области на некоторое время приобретет субъективную полноту и замкнутость. Для развивающегося в психосоциальном плане субъекта эта замкнутость не может быть окончательной, а усложнение требований к принимаемым решениям заставит сомневаться в полноте имеющейся модели мира – появится неуверенность и начнется возвышение по следующему витку спирали. Обоснованность подобной модели личностного развития базируется на результатах А.И.Галактионова (Галактионов А.И. Основы инженерно-психологического проектирования АСУ ТП. М., Энергия, 1978). Он показал, что вначале, при освоении модели деятельности данного типа эффективность деятельности повышается (до точки a1 , например). Затем, переходе человека-оператора от одного типа модели деятельности к другому – более развитому, (от точки a1 к точке b1) поначалу эффективность деятельности понижается, а затем повышается (до точки a2), как примерно показано на рисунке 6 .

эффективность
время
 
                a1 b1        a2   b2

Рис. 6

Процесс принятия решений направлен на удовлетворение актуальных на данный момент потребностей человека. Удовлетворение потребностей через процедуры принятия и реализации решений являются сложно обусловленным процессом, некоторые особенности которого были рассмотрены выше. Но весьма важным является периодизация, то есть временная привязка процессов принятия решений как функции удовлетворения потребностей. Соответствующая графическая модель применительно к суточному ритму жизнедеятельности человека показана на  рис. 7.

пища                                вера
одежда                             знания
жилище                           творчество
безопасность                   
сон
продолжение рода
здоровье
отдых

                      общение
                      признание
                      коммуникация
                      развлечения

Жизненные
потребности

Духовные
потребности

Социальные
потребности

2400      

600

1200

ВРЕМЯ

1800

   

Рис. 7

Здесь сфера потребностей разделена на три крупных сектора (могут быть и другие, самые разнообразные классификации потребностей – см. Приложение) – жизненные потребности, социальные и духовные потребности. Такая классификация согласно П.М.Ершову и П.В.Симонову, опирается на идеи В.И.Вернадского и А.А.Ухтомского о «развитии как освоении расширяющихся в пространстве и времени (хронотопе) сред обитания: геосферы, био-социосферы среди других живых существ и ноосферы (интеллектуальное освоение окружающего мира). Таким образом, потребности делятся на витальные, социальные и идеальные потребности познания и творчества. Сходную классификацию можно найти у Платона, Г.Гегеля, Т.Джефферсона, Ф.М.Достоевского. Филогенетические предшественники этих трех групп потребностей человека обнаруживаются у высших животных в виде сложнейших безусловных рефлексов по И.П.Павлову, или инстинктов в терминологии современных этологов». «Витальные, социальные и идеальные потребности, в свою очередь делятся на две разновидности: на потребности сохранения и развития». «Именно диалектика сохранения и развития привела к формированию в процессе эволюции двух основных разновидностей эмоций – отрицательных и положительных. Разделение эмоций на положительные или отрицательные опирается на принцип минимизации-максимизации, то есть отношение субъекта к своему эмоциональному состоянию. Положительную эмоцию субъект стремится усилить, продлить, повторить, отрицательную – ослабить, прервать, предотвратить.»
В рамках выделенных на рис.7 секторов приведены примеры дальнейшего подразделения потребностей. Вся область потребностей заключена в суточный временной круг. И показаны примеры возможной привязки моментов актуализации и реализации потребности в пище и потребности в развлечениях к определенным временным интервалам. Аналогично могут быть привязаны и все остальные потребности.
Отметим, что в качестве временного круга может быть описан жизненный цикл человека – от рождения и до физической смерти. В более расширительной интерпретации это может быть набор концентрических кругов в соответствии с этапами жизненного цикла. Первый круг – младенчество. Второй – детство, третий – юность, четвертый – молодость, затем – зрелый возраст и т.д., вплоть до старости. Реализация и развитие тех или иных потребностей по кругам жизненного цикла фиксируется на базе жизненных событий. Например, реализация потребности в коммуникации (или самореализации, и пр.) в форме покупки автомобиля. Или реализация потребности в продолжении рода в форме рождения ребенка, реализации потребности в получении знаний – в форме получения аттестата зрелости, защиты диплома и пр. Понятно, что значимость, важность событий по кругам  (этапам) жизненного цикла (вообще говоря, эти концентрические круги образуют жизненную спираль) субъективно различна и рассматривается по-разному в разные жизненные моменты. Часть событий может тускнеть, терять значимость с течением времени, а часть – наоборот приобретать больший смысл. Собственно и шкала времени на каждом круге жизненного цикла имеет различный масштаб. То есть большее число событий на некотором стандартном интервале дает субъективное ощущение большей продолжительности прожитого временного интервала. И наоборот, малая событийная интенсивность дает ощущение того, что время (субъективное время) тянулось долго, а проскочило быстро.

   Разные методы принятия решений при многих критериях  отличаются в основном способом перехода к единой оценке полезности альтернатив (глобальной функции полезности). Можно выделить следующие группы  методов:
   1. Аксиоматические методы. Определяется ряд свойств, которым должна удовлетворять зависимость общей полезности альтернативы от оценок по отдельным критериям. Эти свойства (аксиомы) проверяются на основании информации от ЛПР. В соответствии с этим принимается та или иная зависимость.
   2. Прямые методы. Зависимость общей полезности альтернативы от оценок по отдельным критериям известна заранее.  Чаще  всего  используется зависимость, когда вес критерия умножается на соответствующую оценку альтернативы по этому критерию и затем  полученные произведения складываются (метод взвешенных сумм). Пример  другого прямого метода - деревья решений, когда последовательно  сравниваются все альтернативы (строить завод по схеме А или  Б;  если по схеме А, то строить цеха по схеме В или Г и  т.д.).  При  этом для каждого альтернативного варианта  подсчитывается  полезность, как произведение вероятности осуществления на ценность варианта в деньгах.
   3. Методы компенсации. В рамках этой группы  методов  предлагается лицу, принимающему решения  скомпенсировать оценки одной альтернативы оценками другой, чтобы по оставшейся небольшой группе нескомпенсированных оценок сделать вывод о том, какая из альтернатив предпочтительнее. Это группа достаточно простых методов, когда ЛПР выписывает достоинства и недостатки каждой из альтернатив, и попарно вычеркивая эквивалентные достоинства (недостатки), изучает и анализирует то, что осталось и делает выбор.
   4. Методы порогов несравнимости. Здесь задается правило попарного сравнения альтернатив (например, превосходство вычисляется по большему количеству превосходящих оценок), на основании  последовательного применения которого выявляется  множество альтернатив, превосходящих остальные. Если в полученном множестве не удается выявить альтернативы, превосходящие остальные, то назначается следующий порог сравнения.
   5. Человеко-машинные методы. Строится некоторая модель процедуры принятия решений (например, оптимизационная линейная), параметрами которой ЛПР управляет в ходе диалога с ЭВМ.
   6. Метод анализа иерархий. Основной идеей метода является представление проблемы как попытка ее представления в форме достижения наилучших результатов по всему набору критериев с точки зрения попарного сравнения альтернатив по каждому из них с последующей иерархической сверткой.
   7. Матричный метод многокритериального анализа. В рамках метода строятся матрицы оценок важностей критериев относительно удовлетворения некоторого множества потребностей ЛПР с точки зрения принятия решения. Затем строится матрица важности альтернатив относительно того же списка потребностей. Путем умножения матриц вычисляются по каждому из вариантов решения вектора взвешенных оценок, которые сворачиваются до значений соответствующих полезностей, после чего выбирается наилучшая альтернатива.
   Все множество моделей принятия решений делится на две большие группы:
ДЕСКРИПТИВНЫЕ модели и 
НОРМАТИВНЫЕ модели

Дескриптивные модели принятия решений

   В основе этого класса моделей лежит моделирование поведения человека в ситуациях принятия решений определенного вида. Например, модели, формализующие эвристические (то есть основанные на личном опыте) правила принятия решений человеком.
В ряде экспериментов было показано, что для задач выбора лучшей альтернативы при небольшом числе альтернатив характерны аддитивные стратегии. Этот результат был получен методами фиксации движений глаз, устных протоколов, информационной доски. Было найдено, что при шести-десяти альтернативах люди сравнивают их попарно, запоминают лучшую и переходят к следующей. При большом числе альтернатив и критериев (до 12) часто используют смешанные стратегии: сначала стратегии исключения, оставляющие небольшое число альтернатив, а уже потом — аддитивные стратегии при малом числе оставшихся альтернатив. Было показано также, что словесные оценки на шкалах критериев чаще приводили к поальтернативным сравнениям (при небольшом числе альтернатив).
С помощью разных методов было определено, что для задач отнесения альтернатив к классам решений преимущественно используются стратегии исключения.
Различные стратегии и упрощающие эвристические приемы появились именно вследствие специфических свойств кратковременной памяти человека. Во многих случаях жизненной практики эвристики, безусловно, полезны. Многокритериальные задачи являются тем особым, крайне трудным для человека классом задач, где привычные эвристики часто приводят к противоречиям, к нарушениям рациональности.
Наряду с ограниченным объемом кратковременной памяти есть другая важная особенность человеческой системы переработки информации - пластичность, умение адаптироваться к конкретной задаче. На поведение человека при сравнении многокритериальных альтернатив влияют характер оценок (числовые или словесные), количество критериев и альтернатив и т.д. Более того, при тех же альтернативах и критериях на стратегию человека существенно влияет форма предъявления ему информации. В эксперименте Бетмана и Какара испытуемым предъявляли информацию об альтернативах, имевших оценки по N критериям, тремя различными способами: в виде матрицы, в виде перечня альтернатив со всеми их оценками (каждая альтернатива — на отдельной странице), в виде перечня совокупностей оценок альтернатив по каждому критерию. Стратегии испытуемых в этих трех случаях значительно различались.
Как ограниченная емкость кратковременной памяти, так и пластичность являются объективными характеристиками системы переработки информации. Многие конкретные стратегии определяются персональным пониманием той или иной задачи, причем далеко не всегда правильным. Поэтому выбор стратегии решения сам по себе является для человека самостоятельной задачей. В этом выборе проявляется его индивидуальность, его мотивация и предварительные установки.
Одним из наиболее известных примеров нерационального поведения людей является «дилемма генерала». Генерал потерпел поражение в войне и хочет вывести свои войска (600 чел.) с территории противника. У него есть две возможные дороги, и разведка дала оценки возможных потерь при выборе каждой из них. Данные о дорогах и возможных потерях представлены на рис. 4.

Рис. 4. Дилемма генерала 
Большинство людей, рассматривающих дилемму, показанную на рис., выбирают первую дорогу, стараясь избежать лотереи, когда в одном из исходов погибает весь личный состав соединения. Но эта же дилемма была представлена испытуемым в ином виде (рис.5). Теперь уже большинство испытуемых выбирает вторую дорогу, так как на ней с вероятностью р=1/3 можно спасти все соединение. Легко увидеть, что лотереи на рис.4,5 эквивалентны, но одна из них представлена в виде выигрышей, а другая — в виде потерь. 

Рис. 5. Иное представление дилеммы генерала

Другим примером является придуманный  А. Тверским оригинальный эксперимент. Группе испытуемых предъявлялись пары объектов, имевших оценки по трем критериям, причем один из критериев был для них намного более важен, чем два других. В предъявляемой паре один из объектов (объект А) был немного лучше по важному критерию, но существенно хуже по менее важным критериям, чем другой объект (объект В). Пренебрегая небольшими отличиями по важному критерию, человек выбирал объект В. После этого ему предъявлялись выбранный им объект В и объект С, превосходящий В по двум менее важным критериям, но слегка уступающий объекту В по самому важному критерию. Человек выбирал объект С. В третьей паре ему предъявляли объект С и первоначально исключенный из первой пары объект А. Тут уже человек замечал накопившееся отличие по наиболее важному критерию и выбирал объект А. Такой тип поведения называется нетранзитивным.
Обнаружив, что группа испытуемых, участвовавших в эксперименте, вела себя нетранзитивно, А. Тверский назвал наблюдавшуюся схему поведения «денежный насос». Действительно, рассуждал он, при каждом сравнении человек получает возможность улучшить свой первоначальный выбор. Но при этом его могут попросить заплатить хотя бы немного (например, 1 рубль) за такую возможность. Заплатив несколько раз за улучшение своего выбора (человеку предъявляется не три, а большее число пар объектов, сконструированных подобным же образом), человек возвращается к первоначальному объекту и может опять захотеть его улучшить. При этом он как бы ходит по кругу, т.е. платит деньги и возвращается к тому объекту, с которого начал.
Вряд ли можно считать такое поведение рациональным.

Результаты экспериментальных исследований поведения людей при решении многокритериальных задач были использованы при разработке психологических теорий, описывающих поведение людей в задачах выбора.

 Теория поиска доминантной структуры.

Эта теория была предложена Г. Монтгомери и О. Свенсоном. Они выдвинули гипотезу о том, что при выборе лучшей из нескольких альтернатив ЛПР стремится создать доминантную структуру. Путем попарного сравнения всех (либо части) альтернатив ЛПР хочет найти альтернативу, которая лучше каждой из прочих хотя бы по одному критерию и ее недостатки менее существенны, чем недостатки сравниваемых с ней альтернатив.
В соответствии с теорией поиска доминантной структуры ЛПР в процессе принятия решений охватывает взглядом все имеющиеся альтернативы и выбирает ту, которая по первому впечатлению может оказаться доминирующей. Затем он попарно сравнивает с выбранной прочие альтернативы. Если при этих сравнениях выбранная альтернатива оказалась лучшей, то доминантная структура построена и ЛПР может объяснить свой выбор. Если при каком-либо из сравнений какая-то иная альтернатива окажется лучшей, то уже она рассматривается как потенциально доминирующая и с ней сравниваются все прочие.
Теория поиска доминантной структуры подтвердилась при прослеживании процессов принятия решений методом вербальных протоколов. Оказалось, что внимание (процент от общего времени решения задачи), уделяемое доминантной альтернативе в процессе выбора, было больше, чем для какой-либо иной альтернативы.

Теория конструирования стратегий.
Д.Пейн предложил и обосновал другую теорию человеческого поведения при выборе лучшей (или лучших) из многокритериальных альтернатив. Эта теория может быть названа теорией конструирования стратегий. Д.Пейн предположил, что в процессе решения задачи используется не одна, а несколько стратегий и эвристик. Сравнивая альтернативы, люди могут сначала пренебречь различиями в оценках по некоторым критериям, затем использовать стратегию аддитивных разностей, далее - стратегию исключения и т.д. Для поведения испытуемых в эксперименте характерна именно совокупность стратегий, а не одна стратегия. При этом на формирование совокупной стратегии оказывают непосредственное влияние те оценки альтернатив, которые попадают в зону внимания человека. На этапах сравнений альтернатив правила выбора могут изменяться в зависимости от усилии, затрачиваемых человеком при применении правила, и в зависимости от желаемой точности выбора. Люди могут совершить ошибочный выбор стратегии под влиянием тех или иных (часто малозначимых) характеристик альтернатив. Гипотезы Д.Пейна получили подтверждение при прослеживании процессов принятия решений методом информационной доски.
Как отмечает Д.Пейн, изложенные выше черты поведения характерны для неподготовленных испытуемых. ЛПР, имеющие опыт в принятии решений, владеют своими излюбленными стратегиями, которые они и применяют при решении задач.

 Исследование возможностей человека в задачах классификации многомерных объектов.
В ряде экспериментов была показана непосредственная связь человеческого поведения с организацией человеческой системы переработки информации. Объектом исследования являлись широко распространенные на практике задачи классификации многомерных ситуаций. Например, с такими задачами сталкивается руководитель программы проведения научных исследований и разработок, принимая решения о включении в программу тех или иных проектов.
С этими же задачами сталкиваются и инженер, устанавливающий характер неисправности в сложной технической системе, и покупатель в магазине, разделяя интересующие его товары на два класса - заслуживающие или не заслуживающие дальнейшего рассмотрения. Во всех этих примерах человек решает задачу отнесения объекта, имеющего совокупность характеристик (оценки по многим критериям), к одному из нескольких классов решений. Иначе говоря, человек осуществляет многомерную классификацию.
Предполагалось, что сложность задачи экспертной классификации зависит от следующих параметров задач: числа критериев, числа оценок на их шкалах, числа классов решений. Была выдвинута гипотеза, что поведение людей может измениться при определенном увеличении того или иного параметра задачи. 
Существуют поразительно четкие границы возможностей человека в задачах многомерной классификации. Эти границы замаскированы у опытных ЛПР их умением явно упрощать задачу и переходить, по сути дела, к стратегии «последовательного исключения по аспектам», при которой нагрузка на кратковременную память минимальна, хотя сама задача искажается. Применительно к новым задачам многокритериальной классификации сделано заключение о возможностях человека при решении 90 разных по сложности задач классификации. Решение задачи классификации объектов по трем классам, характеризуемых семью критериями и двумя градациями на шкалах их оценок, находится в пределах возможностей человека, позволили сделать выводы, что еще 12 заведомо более легких задач также находятся в пределах возможностей человека. 
Результаты оценки возможностей человека в задачах разной сложности сведены в табл., где в клетках указано предельное число критериев, при которых испытуемые еще справляются с задачей многокритериальной классификации. Невозможность решения задач, более сложных, чем указаны в табл. 1, выражается в многочисленных противоречиях, в допускаемых ошибках или в упрощении задачи в ущерб ее содержательной стороне. 
Таблица 1.
Число критериев, при котором возможна классификация
Количество оценок
на порядковых шкалах	Количество классов решений	
	2	3	4	5	
2	7-8	6-7	4-5	3	
3	5-6	3-4	2-3	2	
4	3-4				
При решении любой задачи классификации испытуемый должен учитывать все три основных параметра задачи: критерии, оценки на шкалах, классы решений. Если мы перемножим наибольшие значения этих параметров, приведенные в табл. 1, то получим значения в пределах 30-42. Как и Дж. Миллер, мы можем сделать вывод, что «разрешающие возможности» человека в задачах многомерной классификации не превышают шести двоичных единиц информации. 
Возникает вопрос: насколько непреодолимы для человека очерченные выше границы? Есть ли возможности фактически расширить способности человека решать сложные многокритериальные задачи? 
Одна из них состоит в попытке заменить параллельные задачи с большой нагрузкой на кратковременную память последовательными задачами. Прежде всего следует упомянуть об иерархических решающих правилах, когда можно использовать иерархию классификаций. Необходимым условием для этого является содержательность для эксперта понятий, используемых на каждом уровне иерархии. Конечно, этот подход не универсален и в каждом случае должен применяться творчески. В экспериментах, проведенных О.И. Ларичевым, проверялась эффективность различных стратегий выборочной классификации, при которой классификация осуществляется как бы последовательно (сначала выбираются все объекты, относящиеся к первому классу, затем — ко второму классу, и т. Д.). Это позволило уменьшить число допущенных ошибок в 1,5 раза по сравнению с условиями обычной классификации, когда испытуемый, последовательно рассматривая каждый объект, относит его к тому или иному классу. 
Результаты экспериментов свидетельствуют о том, что существуют ограничения возможностей человека в широком круге интеллектуальных задач. Эти ограничения объективны и определяются особенностями человеческой системы переработки информации. 

Черты человеческой системы переработки информации.
  1.	Человек имеет ограниченный объем кратковременной памяти; он не может уделять внимание одновременно многим  аспектам, влияющим на принимаемое решение.
Особенно ярко это ограничение проявляется при принятии новых решений (в отличие от повторяющихся), когда человек не может путем постоянных тренировок расширить возможности своей рабочей памяти, выработать определенную внутреннюю структуру хранения информации. Следствием этого ограничения являются известные случаи, когда ЛПР сознательно упрощает ситуацию, превращает часть критериев в ограничения, уменьшает число возможных оценок, группирует альтернативы и т.д.
Для неопытных людей усложнение задачи обычно связано с резким увеличением числа противоречий.
2.	Человек не является точным измерительным устройством. Он не может совершать точные количественные измерения  Этим объясняются многие противоречия, наблюдаемые в задачах выбора, например исключение доминирующих альтернатив при сохранении доминируемых.
3. В процессе анализа проблем, подлежащих решению, человек время от времени совершает ошибки, противоречит сам себе. Эти ошибки могут быть объяснены различными причинами: невнимательностью, ограниченным объемом кратковременной памяти, экономией усилий, но сам факт наличия таких ошибок бесспорен.

 Особенности поведения человека при принятии решений.
1.Человек обычно не имеет готовой, точно сформулированной политики, решающего правила. Он вырабатывает это решающее правило привычным человеческим методом проб и ошибок, т.е. человеку необходим процесс обучения.
2.	Из-за ограниченного объема кратковременной памяти человек в каждый момент времени уделяет внимание ограниченному подмножеству объектов. Этим объясняется известная стратегия поиска доминирующей структуры. При рассмотрении большого количества альтернатив человек первоначально применяет простые стратегии исключения по аспектам, пытаясь уменьшить их число до обозримого, а уже потом использует более тонкие стратегии сравнения.
3.	Человек ищет удовлетворительное, а не оптимальное решение, достаточно устойчивое к изменению внешних (им неконтролируемых) факторов.
4.	Человек минимизирует (подсознательно) свои усилия при поиске решения. Он меняет свои стратегии по ходу решения задач, выбирая те из них, которые требуют меньше умственных усилий. Человек стремится использовать более простые когнитивные операции (например, сложение), простые сравнения малого числа переменных и т.д.
 
Многочисленные эксперименты продемонстрировали отклонение поведения людей от рационального, определили эвристики, которые используются при принятии решений. Перечислим наиболее известные эвристики. 
1. Суждение по представительности. Люди часто судят о вероятности того, что объект А принадлежит к классу В только по похожести А на типовой объект класса В. Они почти не учитывают априорные вероятности, влияющие на эту принадлежность. В одном из опытов испытуемым дали краткие описания субъектов из группы в составе 100 человек и попросили определить вероятности того, что рассматриваемый субъект является юристом или инженером при условиях: 1) в группе 70 инженеров и 30 юристов; 2) в группе 30 инженеров и 70 юристов. Ответы были примерно одинаковы. В других экспериментах было показано, что люди ориентируются только на представительность, не учитывая даже размер выборки, по которой выносится суждение. 
2. Суждение по встречаемости. Люди часто определяют вероятности событий по тому, как часто они сами сталкивались с этими событиями и насколько важными для них были эти встречи. Так, в одном из опытов испытуемые оценили вероятности нахождения буквы «k» в английских словах на первом и третьем месте. Большинству людей было легче вспомнить слова с буквой «k» на первом месте, и они определили соответствующую вероятность как большую, хотя в действительности справедливо обратное (на третьем месте буква «k» встречается значительно чаще). Тверский и Канеман отмечают, что многие люди, видимо, верят в «закон малых чисел», утверждающий, что малая выборка хорошо характеризует все множество. 
3. Суждение по точке отсчета. Если при определении вероятностей используется начальная информация как точка отсчета, то она существенно влияет на результат. Так, при оценках вероятностей событий группам людей давали завышенные и заниженные начальные значения и просили их скорректировать. Средние по группам ответы существенно различались. 
4. Сверхдоверие. В экспериментах было показано, что люди чрезмерно доверяют своим суждениям, особенно в случаях, когда они выносят суждение о прошлых событиях. Люди переоценивали свои суждения о вероятностях редких явлении природы, о вероятностях изменений курса акций на бирже и т. д. Они были настолько уверены в своих суждениях, что рисковали определенными суммами денег. 
5. Стремление к исключению риска. Многочисленные работы показывают, что как в экспериментах, так и в реальных ситуациях люди стремятся исключить альтернативы, связанные с риском. Они соглашаются на средние (и хуже средних) альтернативы, только чтобы не возникли ситуации, где хотя бы при очень малых вероятностях возможны большие потери. 

Объяснения отклонений от рационального поведения. 
Признание нерациональности человеческого поведения привело к поиску его причин. Среди этих причин называют: 
1) недостаток информации у ЛПР в процессе выбора; 
2) недостаточный опыт ЛПР: он находится в процессе обучения и поэтому меняет свои предпочтения; 
3) стремление ЛПР найти решение, оптимальное с точки зрения совокупности критериев (целей), строго упорядоченных по важности, но он не может его найти; 
4) различие между объективно требуемым временем для реализации планов и субъективным горизонтом планирования ЛПР.

   НОРМАТИВНЫЕ модели решения многокритериальных задач,  основанные на гипотезе рационального выбора - то есть на гипотезе о том, что при принятии решений человек действует строго в  соответствии с некоторыми правилами. Это модели, основанные на выделении в поведении человека только рациональной, строго логической составляющей. В их основе лежит предположение, что если есть некоторая закономерность, то люди действуют строго в соответствии с ней.
    ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ рассматривается как часть теорий измерений. Измерение устанавливает гомоморфизм между полезностью (ценностью) альтернатив для ЛПР и некоторой шкалой. Термин «полезность» имеет два разных значения. Первое - это качественная, или сравнительная оценка, характеризующаяся такими утверждениями, как: «Я ценю это больше, чем то» или «Я предпочитаю х, а не у». Второе значение этого термина -количественная оценка, когда мы в виде числа выражаем наше предпочтение, пытаясь отразить его сравнительную природу. Вообще говоря представление полезности в виде некоторого числа является удобным количественным выражением исходного качественного отношения предпочтения.
Основы современной теории полезности были заложены в восемнадцатом столетии. Именно тогда несколько математиков, заинтересовавшись теорией вероятностей и ее применением к случайным играм и страхованию, выдвинули принцип, в соответствии с которым благоразумный человек, попав в критическую ситуацию, в случае угрозы его благосостоянию должен вести себя так, чтобы максимизировать размер ожидаемого богатства. Когда богатство возросло, то добавление еще одной единицы богатства приводит к меньшему возрастанию полезности, чем в начале роста благосостояния, т.е. полезность стремится к некоторому пределу насыщения

   В основе анализа экспертной информации в интересах поддержки принятия решений лежит попытка ее формализации, отбор вариантов и выбор наиболее предпочтительного из них. Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.
   В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации. Прежде, чем приступить к рассмотрению основных шкал измерений, дадим некоторые определения из теории отношений.

Понятие отношения.

   Что такое "задать отношение" на содержательном уровне ? Это значит - указать, между какими объектами некоторое отношение установлено. Например, отношение "быть братом" полностью  определено, если мы составим список всех пар людей, таких, что один из них - брат другого. В суждениях "Михаил - брат Светланы" объекты нельзя поменять местами, а в суждении  "Михаил  -  брат  Николая" объекты можно менять местами. Это говорит о том, что отношение "быть братом" не симметрично. Полезно также отметить, что высказывание "Михаил - брат Михаила" также не имеет  смысла, то есть это отношение также не рефлексивно. Отношение может быть установлено как на объектах одного множества, так и между объектами разных множеств. Например, между множеством студентов и множеством преподавателей: отношение "быть учеником" и "быть преподавателей"
   Отношение может быть установлено как на парах объектов (бинарные отношения), так и для троек, четверок и т.д. Например отношение "быть хоккейной командой" устанавливается на множествах из шести человек. Отметим, что основным и наиболее  распространенным типом отношений являются бинарные отношения.
   Пусть дано некоторое множество M. Рассмотрим множество всех пар вида <x,y>, где x и y - элементы множества M. Эти  пары  считают упорядоченными, то есть будем различать пару <x,y> от пары <y,x>. Множество таких пар принято обозначать M x M (евклидово произведение множества на себя).
   Отношением A на множестве M мы будем называть  подмножество A множества M x M.
   Содержательный смысл такого определения состоит как раз в том, что выбор подмножества A во множестве M x M определяет, какие пары находятся в отношении A. Это обстоятельство подчеркивается следующим соглашением об обозначениях. Если пара <x,y> входит в A, то есть <x,y> принадлежит А, то мы пишем xAy, что читается: "x находится в отношении A с y".
   Следует подчеркнуть, что отношение - это не просто множество соответствующих пар, а подмножество множества пар М х М при  фиксированном множестве М. Более формально можно сказать, что отношением называется упорядоченная пара <A,M>, где A принадлежит M x M.  Множество М называют областью задания отношения А.
   Множество пар А называют также графиком отношения <A,M>.
   Пример. Пусть М - некоторое множество людей. И пусть А -  множество таких пар <x,y>, что "x знаком с y".
   Существует достаточно общий способ задания  бинарного  отношения на конечном множестве - матричный. Пусть M - n-элеменное множество и A - отношение на нем. Перенумеруем элементы множества М целыми числами от 1 до n. Построим теперь квадратную матрицу размером n x n. Ее i-я строка соответствует i-му  элементу  множества M, а j-й столбец - j-му элементу множества M. На пересечении i-й
строки и j-го столбца ставится единица, если выполнено соотношение xiAxj, в противном случае – 0. Элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца обозначим через aij. Полученную матрицу принято обозначать через .
   Вводят несколько видов специальных отношений:
-	пустое отношение – матрица которого содержит только нулевые элементы
-	полное отношение – все элементы матрицы равны единице
-	диагональное отношение (символ Кронекера) – отношение определено на одних и тех элементах множества: aij = 1 для I = j
-	антидиагональное отношение - все элементы, кроме диагональных, равны единице - отношение определено на всех парах, кроме тех, элементы которых равны
    Для этих отношений справедливо, что их матрицы не зависят  от выбора нумерации элементов множества М.
   Другим важным способом задания бинарных отношений на конечных множествах является представление отношений ориентированным  графом. Вершины графа - элементы множества М, изображаемые точками на плоскости.  Если  выполнено  соотношение  xiAxj, то проводят стрелку от вершины xi к вершине xj. Если выполнено  xiAxi , то у вершины xi рисуют петлю. Если все вершины соединены со всеми, то получаем полный граф.

Пример.
Пусть некоторое бинарное отношение задано матрицей вида:

	X1	X2	X3	X4	X5	
X1	1	0	1	1	0	
X2	1	0	0	1	0	
X3	0	0	0	1	1	
X4	1	0	1	0	0	
X5	0	1	1	0	0	

Соответствующий граф отношения имеет вид:

X1

X2

X3

X4

X5

   Часто приходится рассматривать более общий случай бинарных отношений между элементами разных множеств M и L. Такое отношение определяется как подмножество A множества M x L.  Здесь M x L обозначает множество пар вида <x,y>, где, 
. Формально такое отношение определяется как тройка вида  <A,M,L>, где A принадлежит M x L.
   Рассматриваются также отношения более общего вида - n-арные, когда А определяется как подмножество множества М1 х М2 х ...х Мn.
   Если отношение задано на декартовом произведении n разных множеств, то оно может служить описателем некоторой сущности предметной области. Например, отношение «студент» = <x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>. Здесь x1 – имя (элемент множества всех возможных имен), x2 – отчество (элемент множества всех возможных отчеств), x3 – фамилия, x4 – название ВУЗа, x5 – название факультета, x6 – название группы, x7 – номер студенческого билета. Имена множеств, к которым принадлежат элементы xi образуют имена атрибутов, а множество их конкретных значений – множество кортежей – если мы проектируем некоторую базу данных.
  Поскольку отношения представляют собой некоторые множества, на них можно ввести операции объединения, пересечения, дополнения.
   Возьмем два отношения A и B, заданные на некотором множестве M, что соответствует тому, что как A, так  и B представляют собой подмножества пар множества M х M.
   Пересечением отношений  называют отношение определяемое пересечением соответствующих подмножеств. То есть соотношение  имеет место, когда одновременно выполнено  и .
   Аналогично можно ввести и другие операции: объединения, дополнения.
   Рассмотрим некоторые свойства отношений:
   Транзитивность. Бинарное отношение А называется  транзитивным, если из xAy и yAz  следует xAz.
   Ацикличность. Циклом длины k по бинарному  отношению  A  называется цепочка x1,...,xk  , таких, что x1 A x2 A...A xk = x1.Если ни для какого k не существует цикла длины k, то бинарное отношение называется ациклическим.
   Рефлексивность. Бинарное отношение A называется  рефлексивным, если для всякого x принадлежащего M выполняется  x A x. Если же ни для одного x это условие не выполняется, то отношение  называется  антирефлексивным.
   Симметричность. Если из того, что x A y следует y A x. В  противном случае отношение называется антисимметричным.
   Опираясь на введенные понятия можно ввести отношение  нестрого предпочтения как транзитивное, рефлексивное антисимметричное. 
   Отношением строго предпочтения называется транзитивное,  антирефлексивное, антисимметричное отношение. Например, «строительство фундамента предшествует строительству стен, строительство стен предшествует строительству кровли».
   Отношением эквивалентности называется транзитивное, симметричное, рефлексивное отношение. Имеет интерпретации: «элементы одинаковы», «элементы взаимозаменимы». Например, отношение «быть однофамильцем».
   Построение отношения строгого порядка, соответствующего предпочтения ЛПР, является основной целью процедуры выбора наилучшего варианта решения. Собственно методы многокритериального выбора и представляют собой процедуры построения таких отношений – в лучшем случае строго, но как правило, - нестрогого порядка на множестве альтернатив решения задачи принятия решений. Если на множестве альтернатив решения удается построить отношение нестрогого порядка, и выбор наилучшей альтернативы ведется путем их попарного сравнения и отбрасывания худших, то может оказаться, что мы придем не к единственной альтернативе, а к некоторому их подмножеству. А в рамках оставшегося подмножества их сравнение уже невозможно – все заведомо худшие уже отброшены. Эта парадоксальная ситуация описывается понятием множества Парето, которое будет рассмотрено далее.
В теории многокритериального выбора рассматриваются: качественные шкалы: номинальную и порядковую и  количественные: интервальную и абсолютную.

Шкалы измерений

В процессе измерения участвуют два объекта: измерительный прибор и измеряемый объект. В результате их взаимодействия прибор приходит в некоторое состояние, которое в зависимости от вида прибора и измерительной процедуры фиксируется тем или иным способом: положением стрелки на физической приборной шкале, цветом лакмусовой бумажки, цифрами на электронном табло, положительным или отрицательным ответом на вопрос и т.д. Затем это состояние прибора отображается в протоколе в виде тех или иных символов - цифр, букв, слов и т.д. 
Теория измерений оперирует понятием "эмпирическая система с отношениями" (Е), которая включает в себя множество измеряемых объектов (А) и набор интересующих исследователя отношений между этими объектами (R): E = { A, R }. Например, множество А это множество физических тел, а набор R - отношения между ними по весу, твердости, размерам и т.п. Для записи результатов наблюдений используется "символьная система с отношениями" (N), состоящая из множества символов (М), например, множества всех действительных чисел, и конечного набора отношений (Р) на этих символах : N = { M, P}. Отношения Р выбираются так, чтобы ими было удобно отображать наблюдаемые эмпирические отношения R. Если тело t тяжелее тела q, т.е. если имеет место отношение R(t>q), то цифровая запись веса тел t=5 и q=3 позволяет наглядно увидеть это эмпирическое событие в записи P(5>3). Договоренность использовать именно такое отображение системы E на систему N означает выбор некоторого определенного правила отображения g. Тройка элементов < E, N, g > называется "шкалой" (не следует путать с физической приборной шкалой). 
Но мы можем договориться и о некотором другом способе отображения w и тогда будем иметь дело с другой шкалой <E,N,w>. Например, g рекомендует записывать вес тел в кг., а w - в граммах или тоннах. Цифровая запись в протоколах будет при этом разная, но эмпирическое содержание протоколов будет одинаковым. Это означает, что мы выбрали не любые способы отображений g, w и т.д., а только те, которые связаны между собой взаимно однозначными преобразованиями. Т.е. имеется такое преобразование f, с помощью которого по записи в языке g можно точно определить, какой будет запись в языке w (и наоборот) : g = f (w) и w = f'(g). Преобразование f объединяет указанные выше по-разному выглядящие шкалы в определенную группу, которая называется "типом шкалы". Зафиксировав допустимое преобразование f, мы тем самым фиксируем конкретный тип шкалы. 
В практике научных исследований получили распространение шкалы всего нескольких типов. Перечислим их от наиболее «сильны» к наиболее «слабым».
1. Абсолютная шкала. Допустимое преобразование для шкал данного типа представляет собой тождество, т.е. если на одном языке в протоколе записано "у", а на другом языке "х", то между ними должно выполняться простое соотношение : у = х. Этот тип шкалы удобен для записи количества элементов в некотором конечном множестве. Если, пересчитав количество яблок, один запишет в протоколе "6", а другой запишет "VI", то нам достаточно знать, что "6" и "VI" означают одно и то же, т.е., что между этими записями существует тождественное отношение: 6 = VI. 
2. Шкала отношений. Между разными протоколами, фиксирующими один и тот же эмпирический факт на разных языках, при этом типе шкалы должно выполняться соотношение: у = а*х, где а - любое положительное число. Один и тот же эмпирический смысл имеют протоколы "16 кг.", "16000 г.", "0, 016 т." и т.д. От любой записи можно перейти к любой другой, подобрав соответствующий множитель "a". Этот тип шкалы удобен для измерения весов, длин и т.д. Если нам не известно в каких именно единицах записаны веса тел в разных протоколах, то мы можем полагаться только на отношение весов двух тел: например, тело с весом 10 единиц в два раза тяжелее тела с весом 5 единиц вне зависимости от того, что было взято за единицу - тонна или грамм. Инвариантность отношений отражена в названии шкалы данного типа. Если же в протоколе указана единица веса, то такой протокол отражает свойства тел в абсолютной шкале. Примерами относительных шкал являются шкалы весов (отсчет идет от нулевого веса), шкалы длин (отсчет от нулевой длины), измерение возраста и т.д.
3. Шкала интервалов. Здесь между протоколами y и x допустимы линейные преобразования: y = a*x + b, где а - любое положительное число, а b может быть как положительным, так и отрицательным. Это значит, что в разных протоколах может использоваться разный масштаб единиц (a) и разные начала отсчета (b). Примером шкал этого типа могут быть шкалы для измерения температуры. Если в протоколе указаны градусы, но не говорится в какой шкале (Цельсия, Кельвина и т.д.), то во избежание недоразумений при описании закономерностей можно использовать только отношения интервалов, так как при любых значениях a и b сохраняется равенство: 
(y1-y2):(y3-y4) = [(a*x1+b)-(a*x2+b)] : [(a*x3+b)-(a*x4+b)].
Если записи в протоколе сопровождаются информацией о том, какие именно градусы имеются в виду (например, "18 град.С"), то мы имеем дело с протоколом в абсолютной шкале. 
   Разности между значениями на шкале интервалов становятся мерами на шкале отношений (т.е. на обычной числовой шкале) по той простой причине, что в результате вычитания можно избавиться от постоянного слагаемого b. Если для интервальной шкалы можно выбирать начало отсчета (например, календарь – наш начинается с довольно условной точки отсчета – даты рождения Христа), то в шкале отношений (или – абсолютной шкале) начало отсчета задается жестко некоторым условием – например, шкала весов или длин.
   В ряде случаев при формализации экспертных оценок используется свойство аддитивности (присущее, строго говоря, только шкале отношений).
   Наличие аддитивности выражается следующими аксиомами:
     1) если j = a и j > 0, то i + j > a;
     2) i + j = j + i;
     3) если i = a и j = b, то +i + j = a + b;
     4) (i + j) + k = i + (j + k).
   Обычная ситуация, когда необходимо принять решение с учетом аддитивности, заключается в том, что имеется несколько (по крайней мере два) качественных  признака.  При наличии нескольких признаков, характеризующих конкретные объекты, существует множество реальных свойств и типов связей объектов. В рамках задачи многокритериального выбора измерение качеств сравниваемых альтернатив по множеству имеющихся критериев, строго говоря, должно проводиться в рамках единой шкалы – шкалы отношений. Либо процедура принятия решений должна выстраиваться как процедура непосредственного упорядочивания альтернатив решения. То есть мы должны:
Определить (сгенерировать) варианты (альтернативы) решения
Определить множество критериев для оценки существенных для принятия решения качеств сравниваемых вариантов
Упорядочить варианты решения (альтернативы) либо измеряя их качества в единой шкале, либо упорядочивая непосредственно.
   Так, например, признаки (показатели), характеризующие эффективность создания и внедрения новой техники, по их объективному содержанию можно подразделить на технические,  экономические и социальные. С другой стороны, эти признаки можно сгруппировать в соответствии с их ролью в процессе создания и внедрения новой техники, выделив, например, показатели, характеризующие затраты, технический уровень, экономическую эффективность и т.д.
   Таким образом, характер и количество признаков в значительной степени зависят от цели принимаемого решения, причем один и тот объект или явление могут быть охарактеризованы различными признаками, а одинаковые признаки могут иметь в  разных ситуациях различную значимость.
   В случае, когда все признаки задаются по номинальной шкале, т.е. задаются по этой шкале некоторый признак a и исходное множество элементов M, цель состоит в выборе подмножества  элементов M(a), обладающих этим признаком. В таких  случаях  производится сравнение элементов, точнее их свойств, с признаком - эталоном, а результат - разбиение множества - можно  рассматривать как упорядочивание по двухэлементной шкале, по которой каждому из элементов присваивается балл, равный либо  нулю, либо единице.
   В случаях, когда признаки заданы по порядковой шкале или по нескольким порядковым шкалам, цель состоит в упорядочивании элементов исходного множества.  Необходимым  условием  решения этой задачи является допущение о транзитивности.
4. Шкала порядка. В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного признака, используются  ПОРЯДКОВЫЕ шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или  доминирование объектов: оцениваемых по выделенному признаку.
   Предположим, что нам необходимо расположить в определенной последовательности  n объектов по какому-либо признаку (критерию). Представим это упорядочивание (отношение порядка) A в виде матрицы  где i,j = 1,2,...,n. Для этого несколько модифицирует матрицу отношения.
   Величины aij устанавливают соотношения между оцениваемыми объектами по выделенному признаку (фактору) и могут быть определены следующим образом:

                         +1, если i предпочтительнее j
            aij  =        -1, если j предпочтительнее i
                          0, если i и j равноценны

   Установим основные аксиомы, необходимые для соблюдения условий упорядочения – теперь мы их можем выразить через функционал aij. Соотношение aij = 1,означающее, что i предпочтительнее j, должно быть асимметричным, то есть если aij = +1, то aji = -1 и транзитивным, т.е., если  aij = +1 и ajk = +1 то aik = +1 (и, конечно, антирефлексивным).
   Соотношение aij = 0 ,означающее, что i и j равноценны, называют отношением (соотношением) эквивалентности. Такое отношение должно быть:
     рефлексивным, то есть aii = 0,
     симметричным, то есть если aij = 0, то aji = 0
     транзитивным, то есть если aij = 0 и ajk = 0, то aik = 0
   Кроме того, эти два отношения должны быть совместимы, то есть если aij = +1 и ajk = 0, то aik = +1, а также если aij =  0 и ajk = +1, то aik = +1 (отношение нестрогого порядка).
   И, наконец, наше упорядочение должно быть связным, т.е. для любых  i и j выполняется: или aij = +1 или aij = -1 или aij = 0.
   Использование порядковых шкал позволяет различать объекты и в тех случаях, когда признак (критерий) не задан в явном виде, т.е. когда мы не знаем признака сравнения, но можем частично или полностью упорядочить объекты на основе системы  предпочтений, которой обладает эксперт.
   Любое множество A будем называть упорядоченным, если для любых двух его элементов x и y установлено, что либо x предшествует y, либо y предшествует x. Иногда не удается установить строгое предшествование для всех элементов множества, но можно провести групповое упорядочивание, когда упорядочиваются подмножества равноценных элементов. Далее можно поставить задачу сравнения и упорядочения этих подмножеств. Например, всех студентов можно разделить на отлично успевающих, хорошо успевающих, учащихся посредственно и неуспевающих.
Допустимыми преобразованиями для данного типа шкалы являются все монотонные преобразования, т.е. такие, которые не нарушают порядок следования значений измеряемых величин.   Использование порядковых шкал позволяет производить преобразования полученных от экспертов  оценок, определяемые классом монотонно возрастающих функций. Например, положительные оценки могут быть заменены их квадратами, или логарифмами, или любой другой монотонно возрастающей функцией.
Протоколы измерений в порядковых шкалах появляются, например, в результате сравнения тел по твердости. Записи "1; 2; 3" и "5,3; 12,5; 109,2" содержат одинаковую информацию о том, что первое тело самое твердое, второе менее твердое, а третье - самое мягкое. И никакой информации о том, во сколько раз одно тверже другого, на сколько единиц оно тверже и т.д. в этих записях нет и полагаться на конкретные значения чисел, на их отношения или разности нельзя. Разновидностью шкалы порядка является шкала рангов, где используются только числа, идущие подряд от 1 вверх по возрастанию. Если среди m измеряемых объектов одинаковых нет, то ранговое место каждого объекта в протоколе будет указано одним из целых чисел от 1 до m. При одинаковом значении измеряемого свойства у k объектов, занимающих порядковые места с t-го по (t+k)-тое, их ранги будут обозначены одинаковым числом, равным их "среднему" рангу x, где x 
Такая разновидность шкалы порядка называется "нормированной шкалой рангов". К типу шкал порядка относится и широко используемая шкала баллов. При этом используются целые числа в ограниченном диапазоне их значений: от 1 до 5 в системе образования, от 0 до 6 или до 10 в спорте и т.д. В любом из этих случаев протокол содержит информацию только о трех эмпирических отношениях: "<", ">" строгого порядка и "=" - эквивалентности. 

5. Шкала наименований. Здесь фиксируется только два отношения: "равно" и "не равно". Следовательно, допустимы любые преобразования, лишь бы в протоколе одинаковые объекты были поименованы одинаковыми символами (числами, буквами, словами), а разные объекты имели бы разные имена. Так фиксируются в протоколах такие характеристики, как собственные имена людей, их национальность, названия населенных пунктов и т.п.  Другими словами, рассмотрение любых процессов, предметов, явлений состоит в том, что выделяются характерные, то есть важные для реализации некоторого вида деятельности качества. Выделение качеств позволяет судить о том, что можно сделать с «этим» в рамках реализуемой деятельности. А для лучшей реализации выделенные качества нужно уметь измерять, то есть сравнивать относительно некоторой шкалы.
   Исследуемые объекты можно опознавать или различать на основе признаков или факторов. Определим в рабочем порядке, что признак может принимать значения из множества, состоящего по крайней мере из двух элементов, отражающих различные уровни некоторых подлежащих рассмотрению величин. Например, деньги или есть или – нет.
   Уровень значения одних признаков может быть  выражен  количественно  и такие признаки называют  количественными,  уровень  же  других нельзя точно выразить с помощью числа и их обычно называют  качественными.
   Признаки можно условно разделить на дискретные и непрерывные. Под дискретными понимаются признаки с определенным (небольшим) числом уровней. Признаки, уровни которых рассматриваются как образующие непрерывное множество, называются непрерывными.
   При использовании НОМИНАЛЬНЫХ шкал исследуемые объекты можно опознавать и различать на основе трех аксиом идентификации:
   1) признак Fi либо есть (совпадает с) Fj, либо есть не Fj (рефлексивность)
   2) если Fi есть Fj, то Fj есть Fi (симметричность)
   3) если Fi есть Fj и Fj есть Fk, то Fi есть Fk (транзитивность)
   Признаки в данном случае выступают как ассоциативные показатели, обладающие информацией, которая может быть  формализована в виде бинарных оценок двух уровней: 1 (идентичен) или 0 (различен), что укладывается в определение отношения эквивалентности..

Шкалы первых трех типов содержат более богатую информацию, их показания можно подвергать определенным математическим преобразованиям и потому их часто называют "сильными", "количественными" или "арифметическими". Шкалы порядка и наименований уступают им по информативности и отражают качественные свойства и их обычно называют "слабыми" и "качественными ". Однако, рекомендовать пользоваться только "сильными" шкалами нельзя. Приборы для измерения сильных свойств более дорогие, для измерения многих свойств в сильных шкалах (особенно, в гуманитарных областях) таких приборов еще нет. 

Характеристика шкал различного типа 
Уровень измерений	Характеристики шкал	
	описание	порядок	расстояние	наличие начальной точки	
Шкала наименований	*				
Шкала порядка	*	*			
Интервальная шкала	*	*	*		
Шкала отношений	*	*	*	*	

                 ТИПЫ ШКАЛ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Тип    шкалы	        Определение шкалы          	Отношения, задаваемые на шкале	
Номинальная  	Простейший тип измерения, в котором числа или символы используются только для классификации объектов	Эквивалентность
        (=)
	
Порядковая	Объекты одного класса находятся в  некотором отношении с объектами            другого класса 
	Эквивалентность
           (=)
(больше, чем; более  предпочтителен; сильнее и т.д.)           (>)

Интервальная	Порядковая плюс известные расстояния между двумя любыми числами на            шкале (нулевая точка шкалы и единица измерения выбираются произвольно)                                  	   Эквивалентность
         (=)
           Больше, чем (>)
Известно отношение        любых двух  интервалов
	
Шкала     отношений	Интервальная плюс истинная нулевая   точка (отношение любых двух точек не зависит от единицы измерения)                                 
	Эквивалентность
   Больше, чем
Определено отношение любых двух  интервалов. Определено отношение между любыми двумя точками

Примеры вопросов, сформулированных в различных шкалах измерений 
А. Шкала наименований 
1. Пожалуйста, укажите ваш пол: мужской, женский 
2. Выберете марки электронной продукции, которые вы обычно покупаете: 
-Сони 
-Панасоник 
-Филлипс 
-Орион 
-и т.д. 
3. Согласны или не согласны вы с утверждением, что имидж фирмы “Сони” основан на выпуске продукции высокого качества согласен не согласен 
Б. Шкала порядка 
1. Пожалуйста, проранжируйте фирмы-производители электронной продукции в соответствии с системой вашего предпочтения. Поставьте “1” фирме, которая занимает первое место в системе ваших предпочтений; “2” – второй и т.д.: 
-Сони 
-Панасоник 
-Филлипс 
-Орион 
-и т.д. 
2. Из каждой пары бакалейных магазинов обведите кружком тот, который вы предпочитаете: 
Крогер и Первый национальный 
Первый национальный и A&P 
A&P и Крогер 
3. Что вы скажете о ценах в “ Вел-Марте”: 
Они выше, чем в Сирс 
Те же самые как и в Сирс 
Ниже, чем в Сирс. 
В. Шкала интервалов 
1. Пожалуйста, оцените каждую марку товара с точки зрения его качества: 
Марка	Рейтинг (обведите одну из цифр)	
	Очень низкое 	Очень высокое	
Монблан	1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	
Паркер	1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	
Кросс	1  2  3  4  5  6  7  8  9  10	

2. Укажите степень вашего согласия со следующими заявлениями, обведя одну из цифр: 
Заявление 	Сильно несогласен 	Сильно согласен 	
а. Я всегда стремлюсь делать выгодные покупки 	1  2  3  4  5	
б. Я люблю проводить время вне дома 	1  2  3  4  5	
в. Я люблю готовить	1  2  3  4  5	
3. Пожалуйста, оцените автомобиль “Понтиак Транс-Ам” по следующим характеристикам:
Медленный разгон          Быстрый разгон
Хороший дизайн           Плохой дизайн
Низкая цена           Высокая цена
г. Шкала отношений 
1. Пожалуйста, укажите ваш возраст_________ лет 
2. Приблизительно укажите сколько раз за последний месяц вы делали покупки в дежурном магазине в интервале времени от 20 до 23 часов
0 1 2 3 4 5 другое число раз _______
3. Какова вероятность того, что при составлении завещания вы прибегнете к помощи юриста?
______________ процентов

Приемы, используемые при построении и применении шкал критериев

   1. Предварительные отсечки по качеству. На шкалах критериев определяется уровень качества. Если хотя бы одна оценка альтернативы ниже этого уровня, альтернатива исключается из рассмотрения. Это очень широко используемый в жизни прием. Например, вакансии на работу описываются набором отсечек: «не моложе 25 лет», «стаж работы не менее трех лет» и т.п. 
   2. Определение "диапазонов нечувствительности". На шкале  критериев определяется интервал значений такой, что оценки двух альтернатив, находящиеся внутри данного интервала, рассматриваются как одинаковые. Например, возраст кандидатов на должность определяется «не моложе 30 и не старше 45 лет». 
   3. Непосредственное получение от  ЛПР  кривых  полезности  для шкал критериев. ЛПР рисует графики кривых полезности по критериям, взятым отдельно и независимо от других. Например, кривая эффективности работы в зависимости от времени может иметь вид

время

эффективность

1

В качестве аргументов частных функций полезности могут выступать оцениваемые качества альтернатив, измеряемые в разных шкалах – время, деньги, ресурсы, и пр., а вот значения частных функций полезности могут быть приведены к единой шкале, например на интервал [0,1].
4	Построение кривых полезности по каждому из критериев  путем поэтапного выявления предпочтений ЛПР.
5	Метод главной компоненты заключается в том, что критерий качества связывается с одним из показателей, выбранных в роли основного (главного). На основные показатели накладываются ограничения. В этом случае по главному показателю реализуется критерий оптимальности, по остальным - пригодности. Например, если имеется вектор полезного эффекта ( оценок по множеству критериев) в виде
x<k> = <x1, x2, ... xk>, 
где 
xi(i=1,2...k) - компоненты вектора оценок, например, для машины: производительность, экологичность, надежность, себестоимость и т.д., то метод главной компоненты заключается в произвольном выборе одного из компонентов в качестве главного, по которому производится оптимизация и выбирается решение. При этом остальные компоненты переводятся в разряд ограничений.
Этот метод прост, нагляден и часто применяется в машиностроительной практике, однако принципиальным его недостатком является произвол в выборе главного критерия. Можно привести много примеров из истории науки и техники, когда произвольный и неверный выбор этого критерия приводит к трагическим последствиям или, по меньшей мере, к малоэффективным результатам. 
   6. Для задач, у которых критерии не равнозначны, применяется другой метод решения - уступок. Прежде чем решать поставленную задачу по методу уступок, необходимо:
расположить критерии по их значимости (наиболее важный считается первым); 
•	отыскать оптимальное значение W1* целевой функции W1 ; 
•	сделать уступку по первому показателю эффективности, т.е. ухудшить величину W1* до значения W1**=k1W1*; 
•	ввести в задачу дополнительное ограничение W1 W1**; 
•	отыскать оптимальное значение W2* целевой функции W2 ; 
•	сделать уступку по второму показателю эффективности, т.е. ухудшить величину W2* до значения W2**=k2W2*; 
•	ввести в задачу дополнительное ограничение W2 W2**; 
•	новую задачу с двумя дополнительными ограничениями решить по третьему показателю эффективности и т.д.; 
•	процесс решения задачи заканчивается, когда решение будет получено по всем показателям. Окончательный план и будет наиболее рациональным - получено оптимальное значение наименее важного критерия при условии гарантированных значений предшествующих показателей эффективности. 
7.	Метод условного центра масс 
Пусть последовательно найдены значения экстремумов для каждого показателя Wi(u), что соответствует точкам в пространстве параметров с координатами {x1i*, x2i*,..., xni*}.
Введем понятие «условной массы» точки :
, 
где 
Wi(x1i*, x2i*,..., xni*) - значение i-го показателя эффективности при совокупности управляемых параметров, обеспечивающих экстремальное его значение. Будем полагать, что компромиссному решению будет удовлетворять набор параметров, соответствующих точке с координатами «условного центра масс»:
. 
Найденные по этому методу средневзвешенные значения параметров xi** учитывают не только интересы всех показателей качества, но и чувствительность каждого по отношению к данному параметру.
   8. Метод идеальной точки в пространстве критериев. Пусть на множестве альтернатив U заданы n целевых функций W1(u),...,Wn(u).
В пространстве векторных оценок рассмотрим идеальную точку x={x1,...,xn}, где xi=minWi(u). Если бы точка x принадлежала множеству векторных оценок, т.е. если бы существовала альтернатива u* U такая, что Wi(u*) = xi, i = 1,...,n) то, очевидно, что u* была бы лучшей альтернативой. Однако, как правило, этого не происходит, поэтому в качестве наилучшей альтернативы предполагается выбрать такую точку, векторная оценка которой находится ближе всего к идеальной точке x.
Интуитивно такой подход представляется очень привлекательным. Однако он не лишен довольно существенных недостатков. Одни из основных - возникновение проблемы выбора метрики и несоответствие аксиоме независимости.

   Итак, для построения процедуры многокритериального выбора необходимо выделить наиболее существенные признаки, оценить их по соответствующим шкалам и свести оценки воедино с целью сравнения и выбора наиболее предпочтительного решения.
    "Разумный человек" ведет себя так, как если бы он оценивал ситуации, включающие риск, в соответствии с их ожидаемой полезностью (ожидание основано на  субъективной  вероятности).  При  этом субъективные вероятности служат для описания рационального  поведения. Однако гипотеза рациональности редко подтверждается на практике.

   Применение многокритериальных методов имеет ряд ДОСТОИНСТВ:
   - разложение единого качества на ряд его составляющих
   - критерии являются выражением политики ЛПР
   - рассматривая проблему как многокритериальную, легче прийти к компромиссу
Например, в спорных ситуациях принятие модели многокритериального выбора позволяет перейти от эмоциональной модели поведения к рациональной. Уже попытка разобраться в том, какие критерии используют спорящие стороны, позволяет понять, позиции сторон. Альтернативы у спорящих также могут различаться, а то и вовсе не пересекаться. 

Определение весов критериев

Во всех методах многокритериального выбора важнейшим моментом является определение весов критериев. Для этого разработано несколько приемов:
   1. Упорядочивание критериев  по  важности.  Например,  методом нормирования.
   2. Определение отношений весов критериев. При этом ЛПР определяет в числовом виде не абсолютное значение веса, а относительное
                         Wi/Wj
Такой подход применяет Т.Саати в методе анализа иерархий для заполнения матриц парных сравнений. Он соответствует процедуре измерения физических величин (весов, например) в числовых шкалах.
   3. Определение весов критериев методом парных  сравнений.  Для этого строится матрица парных сравнений вида:

	q1	q2		qn	
q1	y11	y12		y1n	
q2	y21	y22		y2n	
					
qn	yn1	yn2		ynn	

   В данной матрице парных сравнений строки  и  столбцы  соответствуют номерам критериев. На пересечении i-й строки и j-го обычно ставится 1, если критерий qi имеет важность выше, чем qj, и 0 в противном случае. Вес критерия wi определяется как сумма оценок по  строке матрицы. Затем полученные значения нормируются на единицу.
 и нормированное значение 

Метод парных сравнений разработан Луи Терстоуном и впервые был использован для ранжирования преступлений по степени серьезности и для ранжирования различных национальностей по предпочтительности с точки зрения дружеских отношений. Метод парных сравнений основан на попарном сравнении объектов ранжирования по заданному основанию. Процедура сбора данных происходит следующим образом. На отдельные карточки заносятся названия объектов ранжирования. Карточки перетасовываются, и эксперту предъявляется первая пара карточек с вопросом: Будьте любезны, какой из этих объектов вам предпочтительнее?
Затем предъявляется вторая, третья пара и т. д. Результаты парных сравнений отдельно взятого эксперта заносятся в таблицу вида 3, где приведены результаты сравнений восьми различных объектов . Число различных между собой пар в нашем случае будет равно 28. Легко понять, что в общем случае, когда число объектов ранжирования равно N, число сравнений, или число различных пар, будет равно N(N -1l)/2. Число клеток в таблице равно N х N. Это число всех возможных сравнений. Диагональ нас не интересует, так как сравнение объекта с самим собой не имеет смысла. Поэтому число сравнений сокращается и становится равным N(N-1). Но правая верхняя часть таблицы есть зеркальное отражение левой нижней. Если п1 сравнили с п2, то нет никакой необходимости в сравнении п2 с п1. Поэтому нас интересует число сравнений или необходимость заполнения клеток, числа которых равно N(N-1 )/2. Поэтому, когда N=8, число сравнений равно 8 х 7/2=28.
Таблица 3
Результаты “парных сравнений”  

	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	Число пред
-почтений
	
n1	-	1	0	0	0	0	1	1	3	
n2	0	-	0	0	0	0	0	1	1	
n3	1	1	-	1	1	1	1	1	7	
n4	1	1	0	-	1	1	1	1	6	
n5	1	1	0	0	-	1	1	1	5	
n6	1	1	0	0	0	-	1	1	4	
n7	0	0	0	0	0	0	-	0	0	
n8	0	1	0	0	0	0	1	-	2	

В каждую клетку таблицы заносится результат сравнения двух объектов, обозначенных в строке и в столбце. В клетку ставится единичка, если объект по строке предпочтительнее, чем объект, соответствующий столбцу. В нашем случае первый предпочтительнее, чем второй, седьмой и восьмой. Следует особо оговорить случай, когда отдельно взятый эксперт не может предпочесть один объект другому. Тогда в клеточку сносится 0,5.
Вторая строка - результаты сравнения второго объекта с другими. Этот объект предпочтительнее эксперту только по сравнению с п8. В третьей строке одни единички, т. е. третий  предпочтительнее по сравнению со всеми остальными. Таким образом заполняется вся таблица. После этого по каждой строке подсчитываем число единичек, т. е. сколько раз объект был предпочтен экспертом при сравнении с другими. По этому числу предпочтений объекты расположились следующим образом:
пЗ > п4 > п5 > пб > п1 > п8 > п2 > п7 
Символы > и < используются обычно для обозначения предпочтений. Если п2 предпочтительнее п1, то это обозначается как п2 > пl или п1 < п2. Для нашего эксперта на первое место вышел  (п2). Этот объект имеет семь предпочтений, а на последнем месте (nl), у которого ни одного предпочтения. Таким образом, ранжированный ряд получается, если каждому объекту присвоить ранг от 1 до 8 в зависимости от числа предпочтений.
В таблице 4 представлены результаты парных сравнений для всех пяти студентов любителей пива. Эта таблица аналогична таблице 3. с той лишь разницей, что она получена как бы суммированием таблиц по всем пяти экспертам

Таблица .4
Результаты парных сравнений восьми объектов 

	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	N	K	W	
n1	-	3	0	1	0	2	4	3	13	2,6	0,09	
n2	2	-	1	1	1	2	4	3	14	2,8	0,1	
n3	5	4	-	5	3	4	4	4	29	5,8	0,207	
n4	4	4	0	-	2	3	4	4	21	4,2	0,15	
n5	5	4	2	3	-	4	5	5	28	5,6	0,2	
n6	3	3	1	2	1	-	5	5	20	4,0	0,14	
n7	1	1	1	1	0	0	-	0	4	0,8	0,028	
n8	2	2	1	1	0	0	5	-	11	2,2	0,078	

В двух последних столбцах соответственно приводятся общие показатели по всем экспертам: число предпочтений (N) и число предпочтений, приходящихся на одного эксперта (К) – N/5. Социолог обычно работает с относительными величинами типа К, а не с абсолютными типа N. В зависимости от значения К сорта пива по предпочтительности выстроились следующим образом:
пЗ > п5 > п4 > пб > п2 > п1 > п8 > п7 
Если нас интересует только ранжированный ряд оцениваемых объектов, то можно считать задачу решенной. Столь трудоемкая процедура парных сравнений была бы неэффективной, если бы в результате ее применения не получались и другие важные выводы. Значения К имеют количественный характер, они получены по метрической шкале. Поместив наименования объектов на линеечку в зависимости от значения К (от 0,8 до 5.8), имеем следующую картину:  

       n7                         n8   n1 n2            n6   n4                      n5 n3

    0                1                2                3            4                5                6 

Из рис. видно, во сколько и насколько один объект предпочтительнее другого. Объекты п1 (К=2,6) и п2 (К=2,8) практически неразличимы. Аналогична ситуация для п6 и п4, а также для п5 и п3. Резко выделяются четыре типологические группы, к которым, по-видимому, принципиально разное отношение экспертов. В первую группу входит (п7), во вторую  (п8),  (nl) и  (п2), в третью (п6), (п4), в четвертую (п5) и (пЗ). Опять же характер распределения показателя К диктует логику дальнейшего анализа, если интересует не только ранжирование.
Следует особо оговорить тот факт, что в результате использования метода парных сравнений получается метрическая шкала. Это доказано Терстоуном, исходя из того, что в динамике предпочтения отдельного эксперта характерен нормальный закон распределения. Что это значит? Если спрашивать эксперта много раз, то каждый раз он будет давать различные оценки (по предпочтению). Это естественно. Но его оценки будут подчиняться нормальному закону распределения.
В колонке, помеченной W, проставлены отнормированные на единицу веса всех объектов, исходя из стоящих в колонке N значений, что позволяет выразить оценки в относительной шкале.

   4. Определение весов при помощи совокупности  последовательных сравнений (метод Черчмена-Акоффа). Путем сравнения важностей критериев между собой и суммарной важности критериев  ищут  неравенства, определяющие диапазоны значений для каждого из весов,  после чего выбирают любое множество чисел, не  противоречащее  полученным соотношениям.
   5. Нахождение весов после предварительного  определения  средней точки. Определяются "средние" значения на  шкалах  критериев, совокупность которых дает  координаты  "средней"  точки  в  пространстве критериев. Веса рассматриваются при этом  как  отношения важности критериев при отклонениях относительно средней точки.
   6. Многократное повторное сравнение пар критериев по важности. В таблицу парных сравнений заносится на пересечение i-й строки  и j-го столбца число, равное числу раз,  когда  ЛПР  предпочел  i-й критерий j-му при многократном сравнении.
   7. Использование иерархии критериев. В ряде случаев можно построить иерархию критериев, выделив в каждом из сложных критериев совокупность простых, входящих в  него. Важность составного критерия считается пропорциональной  числу входящих в него простых критериев.
   8. Определение вместо точных  значений  весовых  коэффициентов важности критериев диапазона их возможных значений.

Пример

В качестве измерительных процедур были выбраны 1) метод парных сравнений; 2) метод назначения весов в словесных градациях качества; 3) метод назначения весов в числовых градациях качества. Адекватность выявления предпочтений каждым их этих методов выявлялась путем определения меры близости полученных в оценочных процедурах результатов к некоторому эталонному.
В качестве эталонного измерения  были взяты результаты опроса, проведенного в Internet одной из радиостанций в 2003 году. Он был организован для  выявления музыкальных предпочтений молодых людей, учащихся высших учебных заведениях.
Internet-опрос состоял в следующем: было необходимо ответить на вопрос: «Какой из ниже перечисленных музыкальных жанров вам нравится больше». Далее приводился список музыкальных жанров: поп музыка, рок музыка, народная, классическая, эстрадная, музыка из кинофильмов, джаз.  
В эксперименте участвовало 432 человека.
Результаты опроса, проведенного в Internet представлены в таблице 1. 
Таблица 1.
Результаты Internet-опроса

Музыкальный жанр	Кол-во предпочтений	
Поп	134	
Рок	129	
Эстрадная	52	
Джаз	42	
Классика	31	
Кино	25	
Народная	19	

.
Экспериментальная процедура была организована следующим образом.  Студентам необходимо было определить свое отношение к различным музыкальным жанрам. В случайном порядке испытуемым выдавался один бланк с вопросом о музыкальных предпочтениях.
В первом случае это был  метод парных сравнений; во втором -  метод назначения весов в словесных градациях; в третьем - метод назначения весов в числовых градациях.
1.	Метод парных сравнений. 
Испытуемым предъявлялось 42 карточки, сложенные в определенном порядке. Порядок карточек диктовался условиями проведения эксперимента с помощью метода парных сравнений. Каждая карточка содержала пару музыкальных жанров. Испытуемому было необходимо выбрать и подчеркнуть тот, из двух предложенных в карточке музыкальных жанров, который ему нравится больше.
2.	Метод назначения весов в словесных градациях.
Испытуемым предъявлялся перечень музыкальных жанров. Необходимо было определить свое отношение к каждому из приведенных музыкальных жанров. Варианты ответов могли быть такими: Не нравится (1), Равнодушен ( 2), Нравится ( 3), Очень нравится ( 4), Абсолютно нравится ( 5). 
3.	Метод назначения весов в числовых градациях. 
Испытуемым предъявлялся перечень музыкальных жанров. Необходимо было определить свое отношение к каждому из приведенных музыкальных жанров и поставить оценку от 1 до 100. 
Принято считать, что при n ≥ 60 выборка большая, или репрезентативная, а при n < 60 – малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное n , делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.
Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с ее объемом n. Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки.
Выборка может быть как группированной, так и негруппированной. От негруппированной выборки всегда можно перейти к группированной, но не наоборот. При этом, переход к группированной форме представления выборки сопряжен с потерей информации об исследуемом объекте, процессе или явлении.
Всего в эксперименте участвовало 219 человек. По 73 человека в каждой из методик. Все испытуемые – студенты высших учебных заведений в возрасте от 17 до 29 лет. Выборки – случайные, негруппированные. 
Полученные в эксперименте результаты по оценке музыкальных жанров приведены в таблице 2..

Таблица 2.
Результаты оценки музыкальных жанров

Метод	Музыкальный жанр	Сумма рангов	

Метод
парных 
сравнений	Кино 	210	
	Рок 	233	
	Поп 	261	
	Классика 	283,5	
	Эстрада	325	
	Джаз	336,5	
	Народная 	395	

Метод
 назначения
 весов в 
словесных 
градациях	Рок	214	
	Кино 	235,5	
	Классика 	273,5	
	Поп 	314,5	
	Джаз	323	
	Эстрада	336	
	Народная	347,5	

Метод
 назначения
 весов в 
числовых 
градациях	Классика 	220,5	
	Кино 	222	
	Рок 	239,5	
	Поп 	321	
	Эстрада	329	
	Джаз	333,7	
	Народная	347,7	

Значения множественных коэффициентов ранговой корреляции (коэффициенты конкордации) W по каждой из групп испытуемый приведены в таблице 3.. 

Таблица 3.
Значения множественных коэффициентов ранговой корреляции

	Метод	Значение коэффициента конкордации	
#1	Метод парных сравнений	W=0,166987
	
#2	Метод назначения весов в
словесных градациях	W=0,107914
	
#3	Метод назначения весов в
числовых градациях	W=0,179295

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что мнения экспертов в каждом из методов согласованы весьма слабо.
Значимость полученной величины W может быть проверена по критерию X2 с числом степеней свободы k=n-1. Полученные результаты приведены в таблице 4.

Таблица 4.
Значимость величины W по критерию X2

	Метод	Значение критерия X2	
#1	Метод парных сравнений	X2=6,095034
	
#2	Метод назначения весов в
словесных градациях	X2=3,938845
	
#3	Метод назначения весов в
числовых градациях	X2=7,479172

В нашем случае k=6. Для уровня значимости р=0,05. Табличное критическое значение критерия X2 равно X2кр=12,59. Поскольку фактические значения Х2ф во всех трех методах меньше критического, гипотеза об отсутствии согласованности мнений экспертов не отклоняется, т. е. коэффициент W в данном случае не является значимым, то есть выборки во всех трех методах случайны.
Полученные результаты экспертных оценок (предпочтений) могут быть приведены к числовому виду путем проведения соответствующих процедуры нормализации. Получили значения относительных важностей (весов) приведены в таблице 5..

Таблица 5.
Значения относительных важностей

Музыкальный жанр	Вес	
	#1	#2	#3	
Рок	0,185	0,183	0,173	
Поп	0,162	0,13	0,131	
Народная	0,077	0,119	0,093	
Джаз	0,114	0,131	0,117	
Кино	0,196	0,163	0,18	
Эстрада	0,118	0,121	0,124	
Классика	0,149	0,152	0,182	

Веса факторов, полученные в результате проведенных экспериментов,  сравним с результатами опроса, проведенного в Internet и представленными в таблице 6. 
Таблица 6.
Результаты опроса, проведенного в Internet.

Музыкальный жанр	% людей	Кол-во предпочтений
	Вес	
Поп	31,02	134	0,31	
Рок	29,86	129	0,299	
Эстрадная	12,04	52	0,12	
Джаз	9,72	42	0,097	
Классика	7,18	31	0,072	
Кино	5,79	25	0,058	
Народная	4,4	19	0,044	

Теперь сведем в таблицу 7 результаты проведенных экспериментальных экспертных опросов .
Таблица 7.
Результаты экспериментальных экспертных опросов

Музыкальный жанр	#1	#2	#3	
	Частота	%	Частота	%	Частота	%	
Поп	8	10,96	8	10,96	9	12,53	
Рок	22	30,14	36	49,32	2	30,14	
Эстрадная	6	8,22	8	10,96	5	6,85	
Джаз	13	17,81	10	13,69	8	10,96	
Классика	5	6,85	8	10,96	17	23,29	
Кино	10	13,69	11	15,07	14	19,18	
Народная	1	1,37	2	2,74	5	6,85	
Каждый стимул (музыкальный жанр) можно представить точкой в некотором координатном пространстве, величины проекций этих точек на оси соответствуют значению фактора, характеризующего данный стимул. Чем больше величина проекций, тем большим значением фактора обладает стимул. Мера сходства между двумя стимулами обратна расстоянию между соответствующими им точками. Чем ближе стимулы друг к другу, тем выше мера сходства между ними (и ниже мера различия), далеким точкам соответствует низкая мера сходства. Чтобы точным образом измерить близости, необходимо ввести метрику в искомом координатном пространстве. Для этого воспользуемся двумя наиболее распространенными метриками - метрикой Минковского и  Евклидовой метрикой в качестве  меры сходства между элементами множества результатов Internet-опроса и результатами каждого из исследованных в экспериментальной процедуре методов измерения. Полученные результаты приведены в таблице 8.
Таблица 8.
Мера близости к эталонной выборке

Метрика	№1	№2	№3	
Минковского	0,727
	0,769
	0,78
	
Евклидова	0,247
	0,265
	0,279

Полученные результаты свидетельствуют о том, что в случае эксперимента №3, когда испытуемые назначали веса в числовых градациях, оценки больше различаются от оценок Internet-опроса. В случае №1, когда испытуемым предлагался метод парных сравнений - наиболее близки к эталонным результатам. То есть, метод парных сравнений позволяет получить более точные результаты, но требует гораздо больше времени от экспериментатора на подготовку стимульного материала, а от испытуемого - на ответы.
Метод назначения весов в числовых градациях дает наименее точные результаты, и метод получения результатов в словесных градациях качества, являясь наиболее интуитивно ясным, позволяет получать достаточно адекватные оценки. 

Аксиоматические методы

   Иногда их рассматривают даже как единственный "научно  обоснованный" подход (многокритериальная теория полезности). Опирается данная модель на теорию ожидаемой полезности фон Неймана и Моргенштерна. Аксиоматические  методы  подходят к измерению ценности, полезности альтернатив как последовательности определенных шагов, подтверждающих справедливость выбора некоторых аксиом, на основании которых обосновывается возможность использования функции полезности определенного вида.
   Аксиоматические методы подразделяются на две группы:
   - принятие решений при определенности (оценки альтернатив считаются известными)
   - принятие решений при риске (заданы функции распределения вероятностей оценок альтернатив).
   Обе группы методов используют близкую систему аксиом (три группы):
   1. Аксиомы "слабого порядка" и транзитивности.
   В условиях определенности.
   Пусть u,v,w   U - полезности альтернатив.
   Тогда:
   а) для любых u,v имеет место одно из следующих соотношений:
                 u = v, u > v, u < v
   б) из u > v, v > w  следует u > w
   В условиях риска:
   Пусть R - множество распределений  вероятностей  на  множестве альтернатив. Каждое распределение P в R можно представить в  виде лотереи
          L = (p1(a1), p2(a2), ..., pr(ar)), где p1, p2,..., pr – вероятности осуществления альтернатив a1, a2,..., ar

   Каждому распределению P или Q в R можно приписать определенное числовое значение ожидаемой полезности U(P) или  U(Q)  такое, что P < Q, тогда и только тогда, когда U(P) < U(Q)
    Тогда для распределений P,Q,W:
   а) имеет место одно из соотношений:
            U(P) > U(Q), U(P) < U(Q), U(P) = U(Q)
   б) если U(P) > U(Q), U(Q) > U(W), то U(P) > U(W)

   2. Аксиомы, исключающие ненормальности в предпочтениях.
   а) Возможности использования любых частей полезности 2-х альтернатив для выражения эквивалентной полезности третьей (аксиома растворимости):
   Для детерминированного случая:
   из u > w > v следует,  что  существует такое a, 0 < a < 1, что
                au + (1 - a)v = w
   Для условий риска:
   если U(P) > U(Q) > U(W), то существует такое a, 0 < a < 1, что
                aU(P) + (1-a)U(W) = U(Q)
   б) Запрещение использования альтернатив, неизмеримо  превосходящих другие  (Архимедова аксиома):
   Для детерминированного случая:
   если w > v > u, то  существует такое a, 0 < a < 1, что
                   v > au + (1 - a)w
   Для условий риска:
   если U(P) < U(Q) < U(W), то существуют такие p,q,  0 < p,q < 1,
что:
     pU(P) + (1-p)U(W) < U(Q),
     U(Q) < qU(P) + (1-q)U(W)

   3. Аксиомы независимости.  Эти  аксиомы  выражают  требования, чтобы предпочтения между альтернативами не зависели от  некоторых преобразований этих альтернатив. Чаще всего используются:
   Для детерминированного случая:
   а) Слабая условная независимость по полезности:
   предпочтения для двух альтернатив, отличающихся лишь  оценками по шкале одного критерия, не зависят от оценок этих альтернатив по шкалам других критериев
   б) Совместная независимость:
   предпочтения между альтернативами, отличающимися оценками по определенному подмножеству критериев, не зависят от одинаковых оценок по критериям оставшегося подмножества
   Для условий риска:
   в) Аксиома эквивалента определенности:
   предпочтения между лотереями не должны зависеть от  одинаковых составляющих исходов лотерей
   г) Аксиома строгой условной независимости по полезности:
   предпочтения среди многокритериальных альтернатив,  для  которых часть оценок по критериям задана распределением вероятностей,
а другая часть имеет постоянные значения, не зависят от этих постоянных значений
   д) Аксиома маргинальности:
   многокритериальные альтернативы сравнимы между собой только на основе рассмотрения  распределений  вероятностей  оценок  по  отдельным критериям

Использование аксиом

   Рассмотренные выше аксиомы  обычно  используются  для  доказательства существования функции полезности определенного вида.
   Можно доказать, что при справедливости аксиом групп 1 и 2 (слабого порядка и транзитивности, исключения  ненормальностей  в предпочтениях), а также условной независимости и совместной независимости функция полезности может быть выражена в виде:

где
xi – оценка альтернативы по i-му критерию, fi – частная функция полезности по i-му критерию.
   При выполнении аксиом определенного эквивалента, строгой условной независимости, маргинальности полезности для случая риска полезность альтернативы может быть выражена 

где 
pj – вероятность осуществления j-й альтернативы, xj - вектор многокритериальных оценок j-й альтернативы.
   Достаточно часто формулируются другие аксиомы независимости  с целью доказать  существование  функции  полезности  определенного конкретного вида.
   Пример. Изучалась проблема выбора энергетической политики  для штата Висконсин. В качестве критериев оценки рассматривались: выработка электроэнергии, количество земли под электростанцию,  наличие радиоактивных отходов и т.п. - всего 11 критериев. Были определены верхняя и нижняя оценки на количественных шкалах  оценок критериев.
   При проверке независимости по  предпочтению  Р.Кини  спрашивал ЛПР, например, какому количеству  радиоактивных  отходов  эквивалентны 2000 акров земли, занятой под электростанцию,  при  лучших оценках по остальным 9 критериям. Далее  этот  вопрос  повторялся при худших оценках по остальным 9 критериям. В случае  одинакового ответа делался вывод о  независимости  по  предпочтениям  этих двух критериев.
   Проверка независимости по полезности проводилась следующим образом. От ЛПР требовался эквивалент определенности  для  лотереи, дающей с вероятностью 0,5 либо 200 т радиоактивных  отходов  либо их отсутствие при лучших оценках по прочим  10  критериям.  Далее повторялся тот же вопрос при худших оценках по прочим  10  критериям. При одинаковых ответах делался вывод о независимости по полезности.
   Далее рассматривалась задача нахождения весовых  коэффициентов важности критериев.  Первоначально  критерии  упорядочивались  по важности, при этом от ЛПР требовалось сравнение по важности перехода от худших к лучшим оценкам для двух критериев. Затем  критерии рассматривались попарно, и ЛПР находил две точки безразличия:
   первую - с лучшей оценкой по более важному критерию  и  худшей по менее важному и
   вторую - с лучшей оценкой по менее важному критерию и промежуточной по более важному.
   Так, например,  определялось,  что  альтернатива  с  0.5  млрд. квт-час электроэнергии (минимальное значение) при отсутствии  радиоактивных отходов эквивалентна для ЛПР альтернативе  с  3  млрд. квт-час (максимальное значение) при определенном  количестве  радиоактивных отходов. На основании пар безразличия была  составлена система линейных уравнений, решение которых  дало  согласованные веса критериев. Сумма этих весов оказалась близкой к единице,
что позволило использовать аддитивное представление  функции  полезности:
 при 

   Построение кривых полезности по отдельным критериям осуществлялось при  помощи сравнения лотерей. Лучшей оценке присваивалась полезность U = 1, худшей - U = 0. От ЛПР требовался эквивалент определенности для лотереи, дающей с вероятностью 0.5 лучшую и с вероятностью 0.5 худшую оценки. Далее находились эквиваленты определенности для лотерей, включающих найденное значение из первой лотереи и одно из крайних, и т.д. Зная оценки  альтернатив, кривые полезности для отдельных критериев и весовые  коэффициенты, можно подсчитать по формуле взвешенной суммы  оценки  полезности любой из альтернатив.
    Обычно, справедливость  аксиом  первой группы не оспаривается. По второй группе - справедливость  аксиом не всегда наблюдается, особенно при дискретных шкалах.  Подлинный камень преткновения - аксиомы о независимости. Трудно с  аксиомами сравнимости лотерей. Они часто выглядят искусственными и  час-
то противоречат реально применяемым ЛПР алгоритмам.
   Следует также отметить искусственность  аксиоматических  методов и проблема сравнения альтернатив  отступает  перед  проблемой поиска функции полезности в определенной форме. На практике находят применение элементы аксиоматических методов.

Прямые методы

   В этих методах форма зависимости  результирующей  (глобальной) полезности альтернатив от их оценок по  множеству  критериев  задается без всяких теоретических оснований - как правило на  основе некоторых основополагающих предположений, а параметры  зависимости напрямую оцениваются ЛПР.
   Прямые методы можно разделить на пять групп:
   1) постулируется как сама основная формула полезности для многокритериальной альтернативы, так и все ее параметры.  Для  этого обычно используются некоторые принципы (например, одинаковой степени достижения экстремума по всем критериям)
   2) ЛПР  выбирает один из способов определения полезности альтернатив при неизвестной информации о вероятности различных внешних условий
   3) двойники аксиоматических методов: постулируется основная форма зависимости, но ее  параметры  непосредственно назначаются ЛПР. Например - метод взвешенных сумм
   4) основная форма зависимости задается, а ее параметры определяются путем вычислений, проводимых на основе прямой  оценки  ЛПР полезностей некоторых многокритериальных альтернатив
   5) за основу берется формула максимизации ожидаемой  полезности (которая постулируется), а ЛПР определяет вероятностные  оценки различных исходов на деревьях решений
   Рассмотрим эти методы более подробно.

Постулируемые принципы

   Этот подход внешне выглядит самым  простым:  ЛПР  предлагается ряд принципов, принятие каждого из которых влечет  выбор  определенной зависимости между полезностью многокритериальной альтернативы и ее оценками по критериям. Например, глобальная функция полезности может иметь вид:

где xi* - наилучшая оценка по критерию qi, xi- фактическая оценка по i-му критерию.
   При такой зависимости для всех критериев как бы вводится квадратичный штраф за отклонения от наилучшего значения. Данный подход пригоден прежде всего для динамических систем, где оптимизация по каждому отдельному критерию достаточно трудоемка, а время принятия решения ограничено.

        Выбор глобального критерия

   Для методов данной группы исходной информацией  является  следующая таблица:

Альтернативы	              Варианты внешних условий	
	B1	B2	…	Bm		
a1
a2
…
an	U11
U21

Un1	U12
U22

Un2		U1m
U2m

Unm		

   Выбор предпочтительной альтернативы(с полезностью U* )  производится на основании одного из следующих критериев:

   1) Максиминный критерий (наибольшая осторожность). Оптимальное решение выбирается как:
                
               U*  = max min Uij
                     i   j
где i -  индекс строки, j - индекс столбца таблицы
   2) Критерий минимаксного сожаления.
   Вводится понятие сожаления для i-й альтернативы  при  j-м  варианте внешних условий:

                    cij = max Uij - Uij
                          i
далее выбирается
                      
                     U*  = min cij
                           j
   3) Критерий максимакса (крайний оптимизм):
                  
                 U*  = max max Uij
                        i   j
   4) Критерий Гурвича.
   Пусть для i-й альтернативы имеются оценки:

            mi = min Uij,  Mi = max Uij
                  j            j
   Для каждой альтернативы ai определяется некоторая взвешенная полезность :

                  Ui(q) = qmi + (1-q)Mi, где   0< q <1
   Далее при заданном значении q определяется оптимальное значение альтернативы как
                   
                  U*  = max Ui(q)
                         i
Можно говорить, что величина q задает уровень оптимизма: при q=1 получаем случай максмина (1), а при q=0 – максмакса (3).
   5) Критерий Лапласа.
   Все варианты внешних условий принимаются равновероятными и для
каждой альтернативы ai определяется показатель

и оптимальное решение определяется на основании:
                    
                   U*  = max Uiср
                          i

Двойники аксиоматических методов

   Это группа простых методов, в которых форма  зависимости  глобальной функции полезности имеет тот же вид, что и в некоторых аксиоматических методах.
   1) Метод взвешенной суммы. В рамках этого метода без точных формальных обоснований глобальная функция полезности вычисляется как сумма взвешенных оценок альтернативы по множеству критериев. Такая оценка является наиболее распространенной на практике – например, при вынесении судейских оценок в фигурном катании, прыжках в воду, гимнастике. Определение среднего балла при определении «цвета» диплома также является разновидностью такого подхода. Глобальная функция полезности имеет вид:

где   wi - вес i-го критерия, назначаемый ЛПР
      xi – оценка альтернативы по i-му критерию. Веса должны быть отнормированы на единицу:

   Иногда этот метод используется при единичных весах. Если wi = 1 (i=1,...,n), а xi измеряются в целых числах (баллах), то метод называется балльным. 
   Логическим обоснованием метода взвешенных сумм является представление об общей полезности альтернативы, как о сумме оценок по нескольким независимым критериям. Если же критерии имеют разную важность для ЛПР, то отражением этого является присваивание им разных весов, например на основание процедуры парных сравнений. 
  Разработал психофизический метод парных сравнений Кеттел Д.М. (1860 – 1944) — американский психолог, один из основателей психологического тестирования (ср.интерпретацию Л.Терстоуна). Ученик Г. Лотце и В. Вундта. Один из первых специалистов по экспериментальной психологии в Америке. 
   Отметим особо, что процедура парных сравнений может служить самостоятельным методом определения предпочтений ЛПР на множестве альтернатив. 
   2) Мультипликативный метод. Здесь функция полезности имеет вид произведения взвешенных оценок по каждой из альтернатив:

где wi – вес i-го критерия, а вместо частных функций полезности чаще всего используются значения непосредственных оценок альтернативы по соответствующих критериям f(xi) = xi.
   Логическим обоснованием мультипликативного метода является представление об оценках по критериям, как о вероятностях достижения определенных показателей качества (аналог совместной вероятности множества независимых событий). В этом случае падение качества по одному из критериев вызывает значительной уменьшение значения глобальной функции полезности. В случае нулевого значения одной из оценок оценка альтернативы становится равной нулю. 
   3) Лексикографическое упорядочивание критериев.
   В данном методе все критерии упорядочиваются по важности – например, методом парных сравнений. (Поскольку для этого достаточно работы с порядковой шкалой, веса критериев можно не вычислять). После этого лучшей считается альтернатива, имеющая более высокую  оценку по наиболее важному критерию вне зависимости от оценок по  прочим критериям.
   На практике подобный подход применяется, когда один из критериев является явно предпочтительным – например, критерий цены некоторого приобретаемого блага.

Интерполяция функции полезности

   Здесь также постулируется общий вид функции полезности. В  отличие от предыдущего, параметры функции не назначаются ЛПР, а определяются расчетным путем на основе прямой (числовой) оценки ЛПР некоторых многокритериальных альтернатив. То есть определяются некоторые точки, по которым интерполируется (например, в виде полинома) функция полезности определенного вида.
   Например, в форме

здесь xi – оценка по i-му критерию; A, bi, ci, d - коэффициенты. Для рассмотренного примера неизвестными являются значения восьми коэффициентов. Для того, чтобы их выяснить, нужно иметь соответственно восемь случаев, когда при известных оценках альтернативы по трем критериям известны значения полезности альтернативы. После этого составляется система из восьми уравнений третьего порядка и предпринимается попытка ее решения с целью получить значения коэффициентов, с тем, что далее на основе полученных от ЛПР оценок качества альтернатив xi можно было получать значения полезностей альтернатив.

Метод деревьев решений («наука о решениях»)

   Под таким названием часто в литературе (особенно ранней) по принятию решений известен подход, связанный с оценкой вероятностей на деревьях решений. Под деревом решений понимается дерево (граф), построенный на ветвлениях исходов сравниваемых альтернатив. То есть изначально предполагается, что неизвестно, к какому из возможных исходов приведет выбор той или иной альтернативы решения. И каждому из возможных исходов приписывается некоторая субъективная вероятность реализации. 
   Определение субъективных вероятностей неизвестных событий производится следующим образом. Пусть E - некоторое случайное событие реального мира, а lE  - лотерея, которая дает выигрыш W, если E происходит, и выигрыш L - в противном случае. Если ЛПР  не  может определить, то для него лучше - лотерея lE  или лотерея,  дающая W с вероятностью p и L с вероятностью (1-p), то  субъективная вероятность E принимается равной p. Сразу отметим, что не всякий ЛПР готов работать по такой схеме определения субъективных вероятностей.
Сказанное поясним на следующей простейшей иллюстрации идеи метода. Пусть достижение поставленной цели возможно одним из способов (вариантов решения) действий: A или B. Пусть при выборе варианта A точный результат  заранее не известен и возможны три альтернативных исхода 1,2,3, привлекательность которых может быть оценена в деньгах: D1,D2,D3.
Пусть известны вероятности этих исходов: p1,p2,p3. Тогда  полезность варианта A определяется по формуле:

   Аналогично вычисляется полезность варианта B.  Выбор соответствует большему значению функции полезности.
   Для решения вопроса обо всех возможных исходах различных  действий строится дерево решений; для определения вероятностей исходов используется метод лотерей, на основе которого определяются субъективные вероятности событий.
   Пример. 

                                                       р1 , D1
                                                                     о высококачественный, но дорогой
          технология А                       р2 D2       продукт
                                                                     о средний по качеству и дорогой
                                                         р3 D3       продукт
                                                                     о средний по качеству, но дешевый
                                                         р4 D4        продукт
                                                                     о высококачественный и дешевый
                                                         р5 D5        продукт
           технология Б                                   о высококачественный, но очень
                                                                          дорогой продукт

Приведем методику  применения  прямых методов.

Охарактеризовать рассматриваемую проблему 

Выделить альтернативы  

Определить критерии оценки альтернатив

Ранжировать критерии по важности 

Назначить числа, соответствующие важности критериев

Нормировать коэффициенты важности  

Определить функции полезности для каждого из критериев 

Определить полезности каждой из альтернатив как взвешенную сумму       

   Следует отметить, что для многих прямых методов сложной остается проблема высоких требований к ЛПР.

Методы компенсации

   Впервые идея метода была высказана Б.Франклиным в 1772 г. Он в одном из писем заметил, что трудно при сравнении одновременно держать в голове все достоинства и недостатки каждой из альтернатив. Поэтому он выписывает в два отдельных списка достоинства и недостатки альтернативы, после тщательного анализа определяет, какой недостаток (или их совокупность) можно считать эквивалентными определенному достоинству (или их совокупности), после чего вычеркивает их из списка.
   Переход от сравнения качеств по различным критериям к сравнению альтернатив может быть осуществлен различными  путями: построение кривых безразличия или сравнение разностей оценок альтернатив по критериям.

   Построение кривых безразличия.

Точки P1.P2,P3  называют исходными. Кривые  безразличия строятся так.
1) выбирается исходная точка P1(x1,y1),где x1,y1 - значения критериев  X,Y  в данной точке
2) выбирается приращение Δx по критерию X и определяется координата x2 = x1 + Δx
3) определяется значение y2  по  критерию  Y,  такое, что точка (x2,y2) эквивалентна точке (x1,y1) по полезности: P1(x1,y1) = P1(x2,y2)
4) по найденным точкам строится кривая безразличия – то есть кривые, на которых значения полезности для всех точек эквивалентны.
   Если в многокритериальном пространстве построены кривые безразличия, то сравнение многокритериальных альтернатив крайне просто, поскольку эти поверхности можно упорядочить по полезности. То есть для сравнения оценок (вектор оценок) достаточно установить на какую из кривых безразличия попадает стрелка вектора.

P1(x1,y1)

             P1(x2,y2)

P1(x2,y2)

P2

P3

X

Y

Пример: на рис. Р2 предпочтительнее Р1.при условии падения качеств по обеим осям по мере удаления от начала координат.

     Методы сравнения разностей оценок альтернатив

   Во многих методах принимается как очевидный порядок  действий, при котором нужно сначала оценить полезность альтернативы, а  уже потом сравнивать альтернативы между собой. Но  существует  группа методов, в которых принят  совсем другой порядок: альтернативы сначала сравниваются покритериально, а уже потом осуществляется общее сопоставление всех достоинств и недостатков каждой из них.
   Пусть (x1,x2,...,xn), (y1,y2,...,yn) оценки альтернатив x и y по n критериям. Тогда альтернатива x предпочтительнее, чем альтернатива y, если

где Ui - функция полезности для i-го критерия, Fi - функция,  определяющая влияние разностей оценок по i-му критерию на результат сравнения двух альтернатив.
   Оказалось, что метод сложения разностей оценок совпадает с  методом взвешенных оценок критериев, если в первом из них все функции линейны.
   Метод "припасовывания", в котором используется сравнение  разностей оценок для упорядочивания многокритериальных  альтернатив. Для этого к последовательности альтернатив, упорядоченных по  полезности

         U1(x1,y1) > U2(x2,y2) > U3(x3,y3),
добавляется альтернатива с оценкой полезности U4(x4,y4).  Место этой альтернативы  в последовательности определяется путем сравнений:
          1 = xi - xk,    2 = yi - yk

Пример. В качестве примера рассмотрим многокритериальную задачу о назначениях, когда необходимо подобрать  исполнителя  на  работу, описываемую набором определенных требований. Применим для этого метод сравнения разностей оценок альтернатив.
   Исполнители и работа оцениваются по одним и тем же  критериям. Оценки работы рассматриваются как требования, предъявляемые к исполнителю, а оценки исполнителя - как его возможности выполнять определенного вида работу.
   Рассмотрим проблему выбора одного из двух исполнителей для определенной работы. Требуется выбрать исполнителя, оценки которого по критериям были бы ближе к оценкам работы.
   Первоначально рассматриваются попарно характеристики (совокупность оценок по критериям) работы и каждого из исполнителей.  ЛПР путем попарного сопоставления величины падения качества (отклонение от оценок работы в худшую сторону) упорядочивает  покритериальные отклонения характеристик исполнителей  от  характеристик работы. Относительно каждой пары отклонений принимается одно из решений: а) одно из падений качества явно превосходит  другое
         б) они примерно эквивалентны
   Далее ЛПР совершает первую операцию сравнения (ОСР-1). Сравнив все упорядоченные по падению качества отклонения оценок двух исполнителей от показателей работы, ЛПР определяет, не является ли наибольшее отклонение для какого-либо исполнителя столь большим, что явно доминирует над другим. Если в результате ОСР-1 удается установить факт доминирования одного исполнителя над другим по близости к требованиям по работе, то сравнение окончено. Если нет, то ЛПР осуществляет ОСР-2: поочередно сравнивает по два (начиная с наибольших) отклонения падения качества для разных исполнителей. При этом возможны два исхода
   а) падение качества для исполнителя Ci по одному критерию превосходит по своему значению (потере полезности) падение  качества для исполнителя Cj по другому критерию
   б) оба падения качества эквивалентны (либо примерно эквивалентны).
   Если доминирование не установлено, то переходят к ОСР-3: сравнивают падение качества для Ci с совокупностью из двух падений качества для исполнителя Cj. Если и здесь не получено доминирование, то возможности исполнителей считаются эквивалентными.
   Замечание. Методы построения кривых безразличия очень трудоемки и малопригодны для N>3.

Методы порогов несравнимости

   Связь между любой парой  альтернатив  определяется  последовательностью  бинарных  отношений.  "Сильным"  бинарным  отношениям соответствуют большие требования к превосходству одной  альтернативы над  другой  и,  следовательно,  большее  число  несравнимых альтернатив. Самым сильным является требование полного  доминирования одной альтернативы над другой. Более "слабые" бинарные  отношения определяют условия, при которых, несмотря на противоречивые оценки, одна альтернатива объявляется лучше, чем другая.
   На основе выбранного бинарного отношения осуществляется попарное сравнение всех альтернатив (построение бинарного дерева), причем альтернативы, оказавшиеся лучшими при всех сравнениях, выделяются в новое множество, называемое ядром.
   Если бинарное отношение является отношением доминирования одной альтернативы над другой, при котором одна альтернатива  имеет по всем критериям не худшие, а  по одному из критериев лучшие оценки, то появившееся при этом ядро называется множеством Парето.
ПАРЕТО, ВИЛЬФРЕДО (Pareto, Vilfredo) (1848–1923), итальянский экономист и социолог, представитель математической школы в экономике. Родился в Париже 15 июля 1848, в 1858 родители переехали в Италию. После окончания в 1869 Туринского университета, где Парето изучал математику и физику, поступил на работу инженером в железнодорожную компанию. В первых его статьях в периодических изданиях нашла отражение идея Л.Вальраса, что экономика является математической наукой, и когда Вальрас в 1893 ушел в отставку с поста профессора экономики Лозаннского университета (Швейцария), Парето был избран его преемником. В этот период он опубликовал ряд книг – Курс политической экономии (Cours d'économie politique, 1896–1897); Социалистические системы (Les Systémes socialistes, 1902–1903); Учебник политической экономии (Manuale di economia politica, 1906). В последние годы жизни Парето собирал материалы для своей самой известной книги Трактат по общей социологии (Trattato di sociologia generale, 1916). Последним его трудом стало Краткое руководство по общей социологии (Compendio di sociologia generale, 1920). 
Парето известен т.н. «законом Парето», обисывающим процесс распределения доходов. В объяснении человеческих действий он выдвинул теорию «остатков» и «производных», а также теорию элиты. В основе его социологии лежит идея о том, что значительная часть социальых действий не имеет ничего общего с логикой, а поступки индивидов нередко продиктованы стремлением придать нерациональным действиям некую видимость логичности. Человек движим как инстинктивными «остатками», так и логизированными «производными» этих остатков. 
История человечества есть не что иное, как смена преобладающих настроений среди элиты. К власти могут приходить лидеры с психологией «львов», склонные к консерватизму, однако постепенно в сознании элиты распространяется философия «лис», т.е. людей, склонных к риску. «Лисы» приводят общество к кризису, и происходит возвращение консерваторов к власти. По мнению Парето, этот круг могло бы разорвать применение силы, однако элита постепенно становится все более слабой и стремится избегать насилия.
Парето  заметил, что большая часть богатства принадлежит меньшей части населения. Так называемая пропорция Парето "80:20" часто используется в анализе разнообразных явлений. Так, например:
Применительно к стоимости запасов: 80% стоимости запасов на складе составляет 20% номенклатуры этих запасов. Иными словами, Вы должны особо заботиться об оборачиваемости 20% своей номенклатуры, ибо она составляет большую часть связанных в запасах денежных средств.
Применительно к рентабельности продаж: 80% прибыли приносит продажа 20% покупателей. Иными словами, эти 20% покупателей наиболее важны для Вас и именно их Вы должны "холить и лелеять".
Применительно к проблемам качества: большинство (80%) дефектов обусловлено малой (20%) частью причин. Иными словами, выделение этих главных причин дефектов помогает определить очередность мероприятий по повышению качества.
Пример, который приводится, чуть ли не во всех учебниках по менеджменту. Применительно к цене, ценности и умению считать время и деньги:
Предположим, Вы рассыпали 100 монет одинакового номинала. 80% всех монет Вы найдете за 20% времени, на каждую последующую потребуется все больше и больше времени. В конце концов, последние Вы будете искать только в том случае, если совсем не цените свое время или, если их ценность действительно очень высока.
Вильфредо Парето в своем `Руководстве по политической экономии` (1906 г.) определяет оптимальный обмен Парето как такой, при котором хотя бы одна из сторон выигрывает и ни одна не проигрывает. Эта концепция оптимальности используется экономистами при оценке и сравнении различных вариантов перераспределения доходов и ресурсов

В реальной экономике действуют миллионы людей. В этом случае мы сталкиваемся с серьезной проблемой агрегирования индивидуальных предпочтений. Допустим, что  общественное благосостояние есть результат прямого суммирования их значений у всех членов общества. В результате состояние А будет считаться более эффективным по сравнению с G, если оно дает большую сумму индивидуальных полезностей, и наоборот. Однако такой подход вызывает серьезную критику. Так, он никак не считается с ухудшением положения части общества (причем, возможно, большей его части), если такое ухудшение перекрывается с избытком улучшением положения другой, возможно, меньшей его части. 
Обойти эту сложность впервые удалось  В. Парето. 
Парето предложил считать, что состояние А предпочтительнее состояния G, если хотя бы для одного индивида состояние А приносит больший уровень полезности, чем состояние G, не снижая уровень полезности ни у одного из остальных индивидов. 
Таким образом, при переходе из состояния А в состояние G никто ничего не теряет, а кто-то что-то и выигрывает. Состояние А определяется как парето-предпочтительное (лучшее) по сравнению с G, а состояние G соответственно как парето-худшее по сравнению с А. Отсюда переход из состояния G в состояние А называется парето-улучшением, а обратный переход - парето-ухудшением. 
Таким образом, концепция Парето, во-первых, базировалась на разработанной им порядковой теории полезности и, во-вторых, не предполагала межперсональных сравнений уровня полезности, а ограничивалась обычным ранжированием индивидами собственных предпочтений. 
Отсутствие необходимости межличностных сравнений в критерии Парето сделало его наименее оспариваемым из всех предлагавшихся критериев и обусловило его широкое применение в экономической теории, хотя поиски других "более совершенных" критериев не прекращаются до сих пор и не прекратятся, очевидно, и впредь. 
Выработанный критерий сопоставления состояний выводит на определение экономической эффективности (парето-эффективности). Парето-эффективное состояние обладает тем свойством, что никакое иное достижимое размещение благ не может повысить уровень полезности ни для одного из индивидов без того, чтобы понизить его для кого-нибудь другого. 
Подчеркнем, что состояние является парето-эффективным, если по отношению к нему не существует возможное парето-предпочтительное состояние. Соответственно, состояние называется парето-неэффективным, если по отношению к нему существует парето-предпочтительное состояние. 
Рассмотрим рис. 1. Здесь по оси абсцисс показана полезность одного из потребителей - UA. По оси ординат - полезность другого UB. Область - это область потребительских возможностей. Она включает в себя и свою границу с правой стороны, так называемую кривую возможных полезностей. A и B могут потребить любой набор благ в пределах их наличного количества, при этом они могут оказаться как в эффективном состоянии ("выжать" всю возможную полезность и оказаться в какой-либо точке на кривой возможных полезностей), так и в неэффективном, т. е. недобрать потенциально достижимую полезность, а значит, оказаться левее кривой возможных полезностей, предположим, в точке G.

Рис. 1. Кривая возможных полезностей.
Точка G, таким образом, показывает парето-неэффективное состояние. Переход из него в любую точку на кривой возможных полезностей на участке АС будет парето-улучшением. При этом переход из точки G в точки А и С удовлетворяет только слабому критерию Парето, переход же в любые другие точки отрезка (например, в точку D) - сильному критерию Парето. Заштрихованная область GAC показывает область возможных парето-улучшений по сравнению с положением в точке G. 
Заметим, что осуществленный Парето прорыв в подходе к оценке эффективности (отказ от межперсональных сравнений благосостояния) оборачивается тем, что называется неполнотой критерия Парето. 
Во-первых, мы не можем проранжировать состояния на кривой возможных полезностей, т. е. расставить по степени предпочтения различные парето-эффективные состояния. Обращаясь к рис. 1, можно сказать, что критерий Парето не дает нам оснований утверждать, какая из точек F, A, D, C,F', "лучше". Отсюда следует вывод, что критерий Парето нейтрален по отношению к распределению полезностей между индивидами. В точке F B получает все, а A - ничего, в точке F' - наоборот, и тем не менее оба случая относятся к парето-эффективным состояниям. О них можно говорить как о парето-несравнимых состояниях. 
Во-вторых, не всегда критерий парето позволяет характеризовать переход от парето-неэффективного к парето-эффективному состоянию как парето-улучшение и соответственно обратный переход как парето-ухудшение. Возьмем, например, переход из точки G в точку Е на рис. 1. Точка Е находится на кривой возможных полезностей, следовательно, характеризует парето-эффективное состояние. Точка G, как мы знаем, нет. И тем не менее этот переход не является парето-улучшением. Относительно точки G любые возможвозможные переходы на отрезки FA (за исключением перехода в точку А) и СF' (за исключением перехода в точку С) не являются парето-улучшением 
Рассмотренные выше случаи говорят о том, что неполнота критерия Парето возникает всякий раз, когда положение (благосостояние) одного индивида улучшается, а другого - ухудшается при переходе из одного состояния в другое. 
Теория эффективности Парето построена на следующих ценностных суждениях, которые принимаются в качестве аксиом. 
1. Безразличие критерия к процессу. Сосредоточив внимание исключительно на сравнении различных состояний (аллокаций), теория Парето тем самым вносит достаточно жесткое ценностное утверждение о безразличии к процессу (механизму), посредством которого достигается определенное состояние. Например, это означает, что не имеет значения, достигается ли эффективное размещение с помощью механизма, позволяющего индивидам принимать самостоятельные решения, или же такого механизма, который предписывает индивидам, как они должны распоряжаться своим трудом или какие наборы благ они должны потреблять. Иначе говоря, безразлично, достигается ли эффективная аллокация рыночным механизмом или же централизованной плановой экономикой. 
2. Индивидуализм. В соответствии с критериями парето единственное, что имеет значение при оценке того или иного размещения, - это ее воздействие на индивидов в обществе. 
3. Отсутствие патернализма. Тот факт, что состояния оцениваются индивидами исключительно на основе собственных функций полезности (предпочтений), предполагает, что индивиды - безусловно лучшие судьи (оценщики) собственного благосостояния. Это также очень жесткое ценностное суждение, которое принимается далеко не всеми людьми. С этой позиции, например, ничем не оправдан запрет на торговлю наркотиками и их потребление; его введение явно ведет к парето-ухудшению, и при его наличии парето-эффективное состояние недостижимо в принципе. 
4. Благожелательность. Подход Парето предполагает благожелательность к индивиду, поскольку, при прочих равных условиях, увеличение благосостояния одного индивида рассматривается как улучшение. 
5. Атомистичность. Общество представляется только как простая совокупность отдельных индивидов, а не как сложное органическое целое. В этом экономический подход отличается от социологического. Однако дело здесь не только в различии методологии анализа. Экономический подход к обществу основан на ценностном представлении, что нет ничего выше интересов индивида

   Как и ранее попарное сравнение альтернатив ai и aj по критериям качества q1,q2,...,qm означает попарное сравнение оценок xil и xjl,l=1,2,...,m. Если xil ≥ xjl и хотя бы одно из этих неравенств строгое, то говорят, что aj ДОМИНИРУЕТСЯ альтернативой  ai
После отбрасывания всех доминируемых альтернатив, оставшиеся и образуют множество Парето или множество эффективных решений. Множество Парето содержит такие альтернативы, для которых  невозможно одновременное улучшение по всем  критериям.  Главное  свойство множества Парето состоит в том, что всякое дальнейшее  улучшение по одному критерию может быть осуществлено только  за  счет ухудшения по какому-либо другому  критерию.  Выделение  множества Парето сужает множество альтернатив и тем самым облегчает  процедуру выбора. 
Пример. Пусть имеется два критерия – стоимость и надежность и три альтернативы решения, как показано ниже в таблице

Альтернативы                   критерии	q1 - cтоимость 	q2 - надежность	
a1	небольшая	малая	
a2	большая	высокая	
a3	небольшая	высокая	

Покажем на графике, что альтернативы a1 и a2 несравнимы

q2

q1

a2

a3

a1

высокая

большая

   
Из графика понятно, что наиболее предпочтительная альтернатива a3 не попадает в множество Парето. 
После выделения ядра - множества Парето  элементы  этого  ядра объявляются несравнимыми. Но затем задается более  слабое  бинарное отношение и число несравнимых  элементов  становится  меньше. Затем - третье и т.д. Последнее ядро предъявляется ЛПР для  оценки. Его элементы - "лучшие", но они "крайне  не  похожи  друг  на друга".
   На этих идеях основаны методы порогов несравнимости, одним  из видов которых являются методы ЭЛЕКТРА (исключение и выбор в условиях реальности).
   Бинарные отношения в методах ЭЛЕКТРА строятся следующим  образом. Каждому из N критериев, имеющих числовые шкалы,  ставится  в соответствие целое число p, характеризующее важность критерия.
   Выдвигается  гипотеза  о  превосходстве  альтернативы  a   над альтернативой b. Множество I, состоящее из  N  критериев,  разбивается на три подмножества:
   I+(a,b) - подмножество  критериев,  по  которым  a  предпочтительнее b
   I-(a,b) - подмножество критериев, по которым a равноценно b
   I=(a,b) - подмножество  критериев,  по  которым  b  предпочтительнее a
   Далее формируется индекс согласия с гипотезой о  превосходстве альтернативы a над альтернативой b. В методе ЭЛЕКТРА 1  этот  индекс определяется как отношение суммы весов критериев подмножеств  I+ и I=  к общей сумме весов:

   Назяду с этим определяется индекс несогласия  с  гипотезой  о превосходстве a над b. Для критериев подмножества I-(a,b) определяется Dab - разности оценок альтернатив b и a. Эти разности  для удобства выражаются в долях L - наибольшей  (по  длине)  числовой
шкалы критериев.

здесь  - оценки альтернатив a и b по i – му критерию, Li – длина шкалы по  i-му критерию.
 Индексы Dab упорядочиваются по длине.
      Если Cab > C1 и Dab < D1 (где C1, D1 -  заданные  уровни согласия - несогласия),  то
альтернатива a объявляется превосходящей альтернативу  b.  Уровни C1, D1 позволяют выделить ядро, в которое входят  доминирующие  и несравнимые элементы.
   Любое бинарное отношение определяет на  множестве  альтернатив подмножество недоминируемых альтернатив, называемое ядром. В  качестве первого бинарного отношения во всех методах данной  группы используется отношение полного доминирования,  риводящее к  выделению множества Парето. Далее рекомендуется использовать  вложенные бинарные отношения
             S1   S2     S3 ...
   Так, в методе ЭЛЕКТРА1  для  индексов  согласия  и  несогласия справедливо:
             Ci+1 < Ci,  Di+1 > Di
   Если справедливо, что отношение превосходства для двух альтернатив, полученное при использовании Si, всегда останется  в  силе при использовании Si+1, то на каждом этапе процедуры  можно  рассматривать не все множество альтернатив, а уменьшающуюся последовательность ядер.
   Методы этой группы появились с целью дать ЛПР возможность последовательного изучения альтернатив и изменения  некоторых  параметров.

Человеко-машинные процедуры принятия решений

   В этих процедурах решение вырабатывается в результате неоднократного взаимодействия ЛПР и ЭВМ. Как  правило,  в  этих  задачах имеется частичная формализация проблемы, определены параметры модели и соотношение между ними. Качество процессов,  протекающих  в модели, оценивается по многим критериям. В то же время связь между критериями, степень компенсации изменения качества одного критерия изменением качества другого заранее неизвестны. Проблема состоит как раз в определении наилучшего для ЛПР соотношения между критериями, достигаемого при данной модели.
   Чаще всего в этой группе проблем рассматривается проблема математического программирования при нескольких критериях качества, которая решается следующим образом: ЛПР определяет какие-то  первоначальные требования к соотношениям критериев, вводит их в ЭВМ, получает решение и реальные значения оценок альтернатив по критериям, изменяет свои требования, снова вводит в ЭВМ и т.д. Процесс заканчивается, когда ЭВМ  выдает приемлемое решение, либо когда ЛПР убедится в нецелесообразности дальнейших попыток получить разумный компромисс при данной модели.
   Так как существенными элементами таких систем являются  модель проблемы, заложенная в ЭВМ, и руководитель, определяющий  некоторые параметры этой модели, то возникающую систему и называют  человеко-машинной.
   В большинстве работ  рассматривается  линейная  модель  задачи многокритериального математического программирования.
   Найти вектор x = (x1,x2,..., xn), принадлежащий области допустимых решений D  Rn, определяемой линейной системой:
           Ax < b, x = (x1,x2,...,xn), xi > 0, 1< i <n,
где A - постоянная (p x n) матрица, b - (p x 1) вектор, и оптимизирующий совокупность  N  целевых  функций  (критериев  качества)
 C1,C2,...,СN, где
    , j = 1,2,...,N

Это требование означает: в множестве X эффективных  (парето-оптимальных) решений следует отыскать решение x*, соответствующее  экстремуму априорно неизвестной функции полезности ЛПР

             x* = arg max V(z),
где     z = (C1(x*),..., CN(x*))
   В такой постановке человеко-машинная процедура состоит из  чередующихся фаз анализа и оптимизации:
   Фаза оптимизации:
   ЭВМ: а)используя полученную от ЛПР на предыдущем шаге информацию I(i-1)ЛПР, формирует новую область допустимых значений D(i)
        б)вычисляет соответствующее  новым  данным  решение  x(i) (вместе с характеризующим его вектором z(i))
        в)вырабатывает вспомогательную информацию I(i)ЭВМ
   Фаза анализа:
   ЛПР: г)оценивает предъявленное решение (или несколько решений) и определяет, является ли оно приемлемым. Если да,  то  процедура окончена; в противном случае анализирует вспомогательную информацию I(i)ЭВМ
        д)сообщает дополнительно информацию  I(i)ЛПР,  с  помощью которой можно вычислить новое решение x(i+1)
   Человеко-машинные процедуры, созданные для решения  описанных выше задач, отличаются друг от друга содержанием и  способом  выполнения каждого из указанных шагов. Эффективность процедур зависит в наибольшей степени от характера взаимодействия ЛПР  и  ЭВМ, выражаемого в количестве и качестве информации IЛПР, IЭВМ. В этой связи можно выделить три группы человеко-машинных процедур:
   Прямые ЧМ-процедуры.
   Этот тип процедур характеризуется тем, что  человек  непосредственно ведет поиск предпочтительного значения, задавая  на  каждом следующем шагу новое решение x(i) или новые параметры, по которым оно может быть вычислено. Таким образом, в прямых  процедурах отсутствует шаг а). В основе прямых процедур лежит  предположение о том, что ЛПР без труда определяет необходимый  компромисс между критериями; ему нужно лишь некоторое изучение  области  допустимых значений.
   Процедуры оценки векторов.
   В этих процедурах  ЛПР  непосредственно  оценивает  полезность альтернативных вариантов решений, предъявляемых ему в виде векторов в пространстве критериев.
   Процедуры поиска удовлетворительных значений критериев.
   К данной группе относятся ЧМ-процедуры, в которых ЛПР,  накладывая и изменяя ограничения на значения критериев в  точке  решения, решает задачу поиска удовлетворительных значений l(i) критериев Ci(x).
   Большинство процедур начинается с выхода на множество Парето в пространстве критериев, после чего на этом множестве осуществляется поиск компромисса. Для линейных и выпуклых областей допустимых решений доказано, что любое решение может быть представлено в виде взвешенной суммы оценок критериев.
   Заметим, что в большинстве методов делаются слишком сильные предположения относительно характера и возможностей получения информации от ЛПР. Вместе с тем ЛПР должен работать в привычных для него терминах и в рамках привычной для него структуры деятельности по принятию решений.

Метод анализа иерархий

   Основная идея метода иерархий аналогична идее метода  программно-целевого планирования, предложенной акад.  Поспеловым  Г.С.  и состоит в том, чтобы с одной стороны построить дерево целей по проблеме, подлежащей решению, а с другой стороны - последовательно связывать расчетные показатели полезности альтернатив и важностей критериев с использованием аппарата парных сравнений и матричного исчисления.
   МАИ предполагает разбиение проблемы на подзадачи,  или  критерии оценки достижимости глобальной цели, которым в соответствие ставятся или задачи более низкого уровня иерархии или (при меньшем числе уровней иерархии) однородных  альтернатив  реализации глобальной цели. Если в методах многокритериального анализа выделяются критерии оценки альтернатив, генерируются альтернативы решения, выносятся оценки по принятым критериям каждой из альтернатив, а затем сворачиваются по некоторому правилу  в  глобальную оценку (глобальную функцию полезности) и на основании значений глобальных полезностей выбирается оптимальная  альтернатива решения, то в методе анализа иерархий эта процедура  увязана в целостный процесс, организованный на  дереве  целей.
   Обычно рассматривается следующее представление глобальной цели:
уровень 1 - глобальная цель, уровень 2 - уровень критериев  оценки, уровень 3 - уровень альтернатив решения. Например, пусть рассматривается проблема инвестиций в один из трех проектов реализации крекинга нефти: А, Б, В. Представим соответствующую схему:

                           --------------------------¬
Уровень 1                  ¦ Цель: реализаци проекта ¦
                           L------------T-------------
                                        ¦
               ----------T--------------+----T---------T---------¬
           ----+---¬ ----+---¬ --------¬ ----+---¬ ----+---¬ ----+-¬
           ¦стоимо ¦ ¦экологи¦ ¦оборудо¦ ¦коммуни¦ ¦сырье  ¦ ¦персо¦
Уровень 2  ¦ сть   ¦ ¦ческая ¦ ¦вание  ¦ ¦кации  ¦ ¦       ¦ ¦нал  ¦
           ¦       ¦ ¦безопа-¦ ¦       ¦ ¦       ¦ ¦       ¦ ¦     ¦
           ¦       ¦ ¦сность ¦ ¦       ¦ ¦       ¦ ¦       ¦ ¦     ¦
           L---T---- L---T---- L---T---- L---T---- L---T---- L--T---
               ¦         ¦         ¦         ¦         ¦        ¦
               L---------+---------+----T----+---------+---------
                                        ¦
                       -----------------+----------------¬
                       ¦                ¦                ¦
                 ------+-----¬    ------+-----¬    ------+-----¬
Уровень 3        ¦ проект А  ¦    ¦ проект Б  ¦    ¦ проект В  ¦
                 L------------    L------------    L------------

Цель: реализация проекта

стоимость

Экологическая безопасность

оборудование

коммуникации

сырье

персонал

Проект А

Проект Б

Проект В

   Получили соответствующее дерево целей. Первый уровень  -  цель С, второй уровень - уровень критериев q1,  q2,  ...,  qn,  третий уровень - уровень альтернатив a1, a2, ..., am.
   Для выявления важностей критериев применим метод парных  сравнений, заполняя квадратную матрицу вида:

	q1	q2	…	qn	
q1	x11	x12	…	x1n
	
q2	x21	x22	…	x2n	
…					
qn	 xn1	xn2		xnn

   На пересечениях строк и столбцов матрицы стоят результаты  попарных сравнений экспертом (лицом, принимающим  решения)  важностей критериев. Например значение xij - насколько  qi  важнее,  чем qj. Для этого эксперт фиксирует некоторую строку (начиная с  первой) и попарно сравнивает важность критерия, номер которого соответствует номеру строки, со всеми остальными. Например,  в  нашем случае критерий q2 - "экологическая  безопасность".  Чтобы  сравнить важность этого критерия, фиксируем вторую строку  таблицы  и попарно сравниваем важность экологической безопасности проекта со
всеми пятью остальными критериями. В клетке х22 естественно  ставим 1. В остальные же клетки  заносим значения,  определяемые  из таблицы:

Значение интенсивности важности (xij)	Качественная оценка	Объяснение	
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели	
3	Слабо значимее	Легкое предпочтение одного действия над другим	
5	Существенно значимее	Сильное предпочтение одного действия над другим	
7	Очевидно значимее	Предпочтение одного действия над другим практически явно	
9	Абсолютно значимее	Свидетельства о предпочтении одного действия над другим в высшей степени убедительны	
2,4,6,8	Промежуточные оценки	Необходиь компромисс	

   Предложенная Т.Саати шкала содержит 5  основных  градаций  качества и еще 4 промежуточных. Общее число  градаций  качества  не  превосходит числа Миллера V=7±2, определяющего  объем  кратковременной памяти человека. В этом разделе памяти  человек  оперирует одновременно сравниваемыми или оцениваемыми информационными  единицами (ИЕ). Под ИЕ понимается блок информации, с которым возможно оперирование как с единым целым. Например, для изучающего  алфавит в качестве ИЕ выступают отдельные буквы. Затем, по мере овладения навыками чтения, в качестве ИЕ выступают слоги, и уже за
тем - слова. Для профессионального чтеца  уже  целые  предложения или сочетания слов выступают в качестве  ИЕ.  Ограниченный  объем кратковременной памяти с одной стороны является ограничением  при анализе информации человеком, а с другой стороны - мощным  стимулом для создания обобщений при овладении знаниями. Например, наиболее сильным примером обобщений законов природы являются  математические зависимости. Вначале человек  изучает  отдельные  факты, классифицирует их - то есть разносит по типовым  классам.  Например, явления электромагнетизма. Затем специфицирует  более  тонко
факты внутри классов. Затем  ищутся  закономерности  структурного типа, когда классы иерархируются по признаку "обобщение-специализация". Ищутся закономерности  порождения более специальных  классов  обобщения. Например, понятие элементарных частиц  обобщается в понятие атомов, и этим механизмом управляют  законы  квантовой механики. Понятие атома  обобщается  в  понятие  молекулы,  и здесь также работают законы квантовой механики, поначалу  эмпирически выведенные как законы валентности  химических  элементов  в химических соединениях.
   Чем профессиональнее человек в данной предметной области,  тем более высок уровень обобщений, с которым он работает. Внешне  это может проявляться в более быстрой ориентации в незнакомой  обстановке, более  быстром  распознавании  процессов  или  явлений  по меньшему числу признаков. Дело в том, что для человека неискушенного работа начинается с распознавания более  мелких,  расчлененных отдельных признаков, работе по  их обобщению и сведению в единую картину. Для профессионала работа начинается уже с более  высоких уровней обобщения, а потому занимает меньшее время и является более эффективной.

   Элементы матрицы парных сравнений обратно пропорциональны  относительно элементов главной диагонали, то есть xij =  1/xji.  На главной же диагонали стоят единицы. Таким образом, лицо, принимающее решения, заполняет только верхнюю часть матрицы над диагональю. После того, как заполнена матрица парных сравнений, вычисляются значения относительных важностей критериев по формуле:

   Затем значения wi, i = 1,n  нормируются на единицу:

   После этого для каждого из критериев qi строятся матрицы  парных сравнений для выявления относительной важности альтернатив по данному критерию. То есть последовательно рассматриваются  критерии и по каждому из них строятся матрицы парных  сравнений  M(qi)
альтернатив решения. Эти матрицы имеют вид:

       qi ¦ a1 ¦ a2 ¦ ...  ¦ am
       ===+====¦====¦======¦=====
       a1 ¦ y11¦ y12¦ ...  ¦ y1m
       --------+----+------+-----
       a2 ¦ y21¦ y22¦ ...  ¦ y2m
       --------+----+------+-----
        . ¦    ¦    ¦      ¦
        . ¦    ¦    ¦      ¦
        . ¦    ¦    ¦      ¦
       --------+----+------+-----
       am ¦ ym1¦ ym2¦ ...  ¦ ymm
          ¦    ¦    ¦      ¦

   Как и для матрицы парных сранений критериев, на диагонали мат-
рицы M(qi) стоят значения yjj = 1, а  в  клетках  ykl  стоят  ре-
зультаты сравнения важности альтернатив по  критерию  qi,  равные
величинам от 1 до 9 или обратным им - в соответствии  с таблицей,
приведенной выше. Затем, как и ранее, находим значения  важностей
альтернатив по критерию qi:

                          m  -----------------

               vk(qi) =      yk1 yk2 ... ykm

и затем нормируем на единицу:

                 ,        vk(qi)
               vk (qi) = ------------
                            m
                          ----
                           >   vk(qi)
                          ----
                          k=1

   После того, как получены все векторы оценок важностей  альтер-
натив vk(qi), k = 1,m; i = 1,n ищутся веса, или  точнее,  значке-
ния функций полезности по альтернативе в целом, как:
                      n
                     ----   ,       ,
                Uk =  >   vk (qi) wi
                     ----
                     i=1

   И оптимальной считается альтернатива,  для  которой  Uk  имеет
наибольшее значение.
   Рассмотрим элементы C1,...,Cn некоторого уровня иерархии.
Мы хотим определить веса w1,...,wn их влияния  на  некоторый
элемент следующего уровня. Для этого стороится соответствую-
щая матрица парных сравнений. Покажем, почему для  представ-
ления приоритетов выбран собственный  вектор,  соответствую-
щий наибольшему собственному значению. Содержательно  собственный
вектор соответсвует случаю,  когда  в  матрице  парных  сравнений
стоят ТОЧНЫЕ значения относительных величин измеряемых признаков в
форме попарных отношений - признакi/признакj.
   Обозначим через  aij  число,  соответствующее  значимости
элемента Ci по сравнению с Cj. Матрицу,  состоящую  из  этих
чисел, обозначим через A:
                            A = ¦¦aij¦¦
   Как отмечалось ранее, aij = 1/aji, т.е. матрица A  -  об-
ратносимметричная. Если наше суждение  совершенно  при  всех
сравнениях, то aik = aij ajk для всех i,j, k и матрицу A на-
зываем согласованной.
   Очевидным для согласованной матрицы является случай, ког-
да сравнения основаны на точных измерениях, то есть веса w1,
w1,...wn известны. Тогда

                  aij = wi/wj, i,j = 1,...,n           (1)

и поэтому:

                             wi   wj
                  aij ajk = ---- ---- = wi/wk = aik
                             wj   wk

Также, конечно, верно

                                  1
                  aji = wj/wi = -----  = 1/aij
                                wi/wj

   Матричное уравнение

                       A . x = y

где x = (x1,...,xn)  и y = (y1,...,yn)  соответствует  крат-
кой записи системы уравнений

                  n
                 ----
                  >   aij xi  = yi, i = 1,...,n
                 ----
                  j=1

   Теперь из (1) получаем:

                       wj
                  aij ---  = 1, i,j = 1,...,n
                       wi

и, следовательно,

                    n
                   ----         1
                    >   aij wj ---  = n, i = 1,...,n
                   ----         wi
                    j=1

или

                     n
                   ----
                    >   aij wj  = n wi, i = 1,...,n
                   ----
                    j=1

что эквивалентно выражениею:

                          A w = n w                      (2)

   В теории матриц эта формула отражает то,  что  w  -  соб-
ственныый вектор матрицы A с собственным значением n. То есть  мы
и получили, что w - собственный вектор матрицы А - парных отноше-
ний. Уравнение (2), расписанное поэлементно,  выглядит  следующим
образом:

             ¦ A1     A2    ...   An   ¦  ¦    ¦       ¦    ¦
          A1 ¦ w1/w1  w1/w2     w1/wn  ¦  ¦ w1 ¦       ¦ w1 ¦
          A2 ¦ w2/w1  w2/w2     w2/wn  ¦  ¦ w2 ¦       ¦ w2 ¦
           . ¦   .      .         .    ¦  ¦ .  ¦       ¦ .  ¦
    A =    . ¦   .      .         .    ¦  ¦ .  ¦  =  n ¦ .  ¦
           . ¦   .      .         .    ¦  ¦ .  ¦       ¦ .  ¦
          An ¦ wn/w1  wn/w2     wn/wn  ¦  ¦ wn ¦       ¦ wn ¦
             ¦                         ¦  ¦    ¦       ¦    ¦

   Как правило, aij основаны не на точных измерениях,  а  на
субъективных суждениях (экспертов). В этом случае aij откло-
няются от "идеальных" отношений wi/wj, и в силу этого  урав-
нение (2) более не будет иметь места.
   Из теории матриц известно, что числа l1, l2,...,ln, удов-
летворяющие уравнению

                 A x = l x

являются собственными значениями матрицы A, и если aii  =  1
для всех i, то

                      n
                     ----
                      >    li = n
                     ----
                      i=1

   Поэтому, если имеет место (2), то все собственные  значе-
ния равны нулю за исключением одного, равного n. Ясно, что в
случае согласованности n есть наибольшее собственное  значе-
ние A.
   Известно также, что если элементы aij  положительной  об-
ратносимметричной матрицы A незначительно изменить, то  соб-
ственные значения также изменятся незначительно.
   В силу сказанного выше можно утверждать, что если на диа-
гонали матрицы A стоят единицы и она - согласованная  матри-
цы, то при малых изменениях  в  aij  наибольшее  собственное
значение lmax остается близким к n,  а  остальные  собствен-
ные значения - близкими к нулю.
   Теперь можно сформулировать следующую задачу:  если  A  -
матрица значений парных сравнений, то для нахождения  векто-
ра приоритетов нужно найти вектор w, который удовлетворяет

                     A w = lmax w
   Так как желательно иметь нормализованное решение,  слегка
изменим w, полагая
                  n
                 ----
             r =  >    wi
                 ----
                  i=1

и заменяя w на (1/r) w. Это обеспечивает единственность, а так-
же то, что

               n
             -----
              >    wi = 1
             -----
              i=1

   Заметим, что так как малые изменения в aij  вызывают  ма-
лое изменение lmax, отклонение последнего от n является  ме-
рой согласованности. Оно позволяет оценить близость получен-
ной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим  оце-
нить. Поэтому индекс согласованности

               (lmax - n)/(n - 1)
рассматривается как показатель "близости к согласованности".
В общем случае, если это число < 0.1, то мы можем быть удов-
летворены суждениями.
   Как следует из ограничений на  объем  кратковременной  памяти,
адеватность оценок на каждом уровне иерархии достигается  только,
если число анализируемых элементов не  превышает  семи.  Если  же
число элементов больше числа Миллера, то элементы на уровне  раз-
биваются на КЛАСТЕРЫ. Элементы сравниваются внутри  кластеров,  а
затем кластеры сравниваются между собой. По сути мы вводим допол-
нительный промежуточный уровень иерархии.

       Шкалы в МАИ

   Теоретически измерение - это построение шкал посредством  изо-
морфного отображения эмпирической системы с отношениями в числен-
ную систему с отношениями. Производное  измерение  выводит  новую
шкалу из других  известных  шкал.  Например,  шкала  плотности  -
производная  шкала из шкал измерения для массы и объема.
   Шкалу наилучшим способом, как уже говорилось, можно описать  в
терминах классов допустимых преобразований,  т.е.  преобразований
сохраняющих содержащуюся в ней информацитю.
   Когда мы сравниваем признак Si и признак Sj, мы пишем  Si  R  Sj
тем самым обозначая, что  сравниваем  их  для  выявления  относи-
тельного превосходства  одного над другим, например в форме отно-
сительного веса. Если относительные веса выражены  численно,  тем
самым мы совершаем перевод относительных весов в численную шкалу.
Затем из этих относительных весов составляем матрицу A  и  решаем
задачу нахождения собственного значения, чтобы определить  точное
соответствие между объектами и действительными числами.
   Покажем, что при использовании МАИ получается шкала отношений,
числовая шкала, характеризующаяся допустимым классом преобразова-
ний вида y=ax, a>0. Шкала отношений характеризуется  произвольной
точкой начала отсчета. Для доказательства  искомого  нужно  пока-
зать, что парные  сравнения,  определенные  посредством  бинарной
операции, отображаются в шкалу  отношений  действительных  чисел,
соответсвующих сравниваемым элементам:

           F            F                    F
если   S1 ----> w1, S2 ----> w2, то  S1 R S2 -----> w1/w2

   В общем случае бывает трудно показать,  какой  вид  шкалы  ис-
пользуется, особенно когда преобразование сложное и включает  фи-
зические операции: для задачи, связанной  с физической  системой,
вид шкалы устанавливается эмпирически.
   Известно, что решение задачи нахождения главного  собственного
значения для положительных матриц единственно с точностью до  по-
ложительного постоянного множителя. Поэтому  преобразование  дает
множество действительных чисел aw1, aw2,..., awn  по  одному  для
каждого параметра S1,S2,..., Sn, где  a  -  произвольное  положи-
тельное число. Это точно соответсвует определению  шкалы  отноше-
ний через класс допустимых преобразований. При этом полученная из
матрицы суждений шкала отношений является только  нашей  (экспер-
тной) оценкой принятой основной шкалы отношений, которая  получи-
лась бы, если матрица суждений была бы согласованной.
   Отметим, что для одной и той же шкалы отношений можно  сложить
пару элементов и получить третий, принадлежащий той же шкале:
   если y1=ax1 и y2=ax2, то y1+y2=a(x1+x2) и множитель по-прежне-
му остается равным a. Однако y1y2=a**2x1x2 и y1/y2=x1/x2 и опера-
ции умножения и деления выводят за пределы шкалы  отношений,  так
как не соответсвуют преобразованию y=ax.
   Сумма двух элементов из двух разных шкал отношений не  принад-
лежит шкале отношений. Однако, если коэффициенты линейных  преоб-
разований двух различных шкал не равны 1, то произведение и  час-
тное от деления принадлежат некоторой шкале отношений:

если y1=ax1 y2=bx2, то y1+y2=ax1+bx2 и найти соотвествующую  шка-
лу отношений невозможно; но для y1y2=(ab)x1x2 и  y1/y2=(a/b)x1/x2
допустимыми классами преобразований будут классы с линейной  фун-
кцией, имеющей коэффициенты ab и a/b  соответсвенно.  Вот  почему
бессмысленно складывать такие величины, как время  и  расстояние,
но поделив длину (вернее, расстояние) на время, получим скорость. 

5. Матричная модель принятие решений 

В подавляющем большинстве  работ по теории принятия решений, математической экономике и в других математически и формально обустроенных областях человеческих знаний принятие решений рассматривается как процесс рациональный, основанный на разумных, нормативных действиях человека, которые могут быть логично и последовательно описаны с его слов или путем наблюдения за его деятельностью. Схема жизненного цикла решения, как основы синхронизации деятельности во внешнем плане может быть представлена схемой:

             анализ               оценка            генерация           выбор

проблема         цель               замысел           варианты          решение

Горизонтальные стрелки характеризуют элементы жизненного цикла, вертикальные – действия ЛПР.
В общем случае деятельность по принятию решений во внутреннем плане, как психологический феномен, более точно и полно описывается как сочетание двух составляющих, двух компонент: воли и веры. Феномен принятия решений с точки зрения волевого действия уже был рассмотрен выше. Теперь же рассмотрим модель, синтезирующую эти факторы в процедуре принятия решений.

5.1. Базовые определения

 «Воля (Энциклопедический социологический словарь, ИСПИ РАН, М., 1995)  - способность личности осуществлять регуляцию и саморегуляцию деятельности и поведения, выражающаяся в активном преодолении трудностей, противоречий и конфликтов при достижении сознательно поставленных целей. Воля  выражает индивидуальность человека, служит самоутверждению и самовыражению его "Я". 
Воля, представляя собой высший уровень регуляции личности, противостоит стихийно складывающимся импульсивным побуждениям человека, способствует смысловой интеграции побуждений, объединению потребностей, целей, ценностных ориентаций в единую направленность личности. Воля лежит в основе эмоциональной устойчивости личности по отношению к случайным и противоречащим ей внешним влияниям,  является основой перестройки личностных качеств в процессе самовоспитания. 
Воля выполняет в жизнедеятельности личности ряд функций: сознательной мобилизации психических и физических возможностей на преодоление трудностей и препятствий при совершении целенаправленных действий и поступков; стабилизации поведения человека, проявляющейся в удержании важных, но трудно достижимых целей; организации активности личности. 
Воля проявляется в ряде таких свойств, как целеустремленность, решительность, настойчивость, выдержка и др. 
Волевые действия человека имеют сложную структуру, включающую ряд звеньев: выделение мотива, необходимого для совершения действия в его осознанной форме; постановка цели и принятие решения; выбор средств достижения цели; реализация цели, плана действий с оценкой конечного результата (В.И.Селиванов). Для волевых действий характерно наличие волевого усилия как механизма мобилизации личностью своих возможностей.» 
Дополняет сказанное цитата (Краткий психологический словарь, М.: Политиздат, 1985) «воля - сознательная саморегуляция субъектом своей деятельности и поведения, обеспечивающая преодоление трудностей при достижении цели, созданные субъектом дополнительные побуждения к внешним или внутренним действиям, обладающим недостаточной мотивацией. Воля возникла и формируется в процессе трудовой деятельности при овладении человеком законами природы и ее изменении. Волевые действия, выполняя две взаимосвязанные функции - побудительную, обеспечивающую активность субъекта, и тормозную, проявляющуюся в ее  сдерживании, наблюдаются: в ситуациях выбора равных по значимости мотивов и целей, порождающих борьбу мотивов, при отсутствии у субъекта актуальной потребности в действии; при наличии внешних и внутренних препятствий и т. д. Борьба мотивов в ситуации выбора завершается, как правило, образованием единой системы соподчиненных друг другу мотивов, соотнесенной с целью действия. При этом осознание отношений между целями, средствами и последствиями действия, с одной стороны, и совокупностью его мотивов, с другой стороны, составляет основу самоконтроля личности. При отсутствии у субъекта актуальной потребности в действии волевой процесс заключается в произвольном формировании дополнительных побуждений. Последние изменяют смысл действия или придают ему дополнительный смысл через произвольное изменение значимости  действующих, мотивов (понижение или повышение их ценности) на основе предвидения и переживания последствий действия. Развитая воля является специфически человеческой функцией, однако низшие ее уровни, такие, как произвольное движение, задержка импульсивного действия, выделяются уже у животных.» 
Вера (Энциклопедический социологический словарь, ИСПИ РАН, М., 1995) это - «опирающаяся на факты и знания уверенность индивида в том, что определенная идея, гипотеза, теория и т.д. являются истинными. Вера. возникает в случае сильной эмоциональной заинтересованности, личностной оценки и активного отношения индивида к предмету веры. Вера определяет отношение индивида к окружающему миру, его сознание и поведение, играет важную роль в структуре общественного и индивидуального сознания, формирования личности». 

5.2. Принятие решений в координатах «воля – вера»

Итак, воля при принятии решений служит фактором, психологической функцией, отвечающей за выбор наиболее актуального, отвечающего самой важной на данный момент потребности человека (или наиболее важной  в социально-психологическом смысле), мотива деятельности и формирование базирующейся на этом мотиве цели деятельности. Воля отвечает также за удержание цели в ходе деятельности, подчинению действий индивида поставленной цели. Вера же служит эмоциональному  подкреплению, интересу и активности в достижении поставленной цели. То есть дихотомия «вера – воля» неразрывно связана в деятельности человека с базовой психической дихотомией «эмоциональное – рациональное».
Понятно, что возможно принятие решений в крайних полярностях:
- принятие решений, основанное только на вере – эмоциональные, импульсивные решения
- принятие решений, исключительно как волевой акт, основанный на рациональном выборе
Построение соответствующего семантического дифференциала, как рассмотрение базового множества  возможных типов решений показано на рисунке 8.
Точка 1 описывает ситуацию, когда в процедуре принятия решения волевой компонент и вера соотносятся равномерно, сочетаются гармонично. Точка 2 описывает случай, когда решение основано только на вере – чисто эмоциональное решение. Точка 3 описывает то, что называют апатией, или в современном сленге – «пофигизм». И точка 4 описывает случай чисто рационального решения.

безверие

безволие

вера

воля

1

2

4

3

                                    Рис. 8

5.3. Рефлексивный анализ стратегий принятия решений

Правила продукций описывают формально готовые правила поведения в той или иной ситуации. На самом деле переход от оценки ситуации (сцены)  S1 – сцена условия к S2  - сцене вывода детерминирован только в случае стандартного поведения субъекта принятия решений в стандартно оцениваемых им условиях. Информированность субъекта имеет решающее значение при принятии решения. Однако, многое зависит от того, как он оценивает достоверность  информации, ее полноту и достаточность для успешного принятия решения. 
В общем случае можно говорить, что решения принимаются или импульсивно, только на основе эмоциональной оценки – один полюс поведения, или рационально – на основе полной информированности – другой полюс. В соответствии с такой поляризацией можно ввести соответствующую ось «эмоциональный – разумный» или «импульсивный – рациональный» и нормировать ее на интервал [0,1], так что 0 относится к началу оси – импульсивное принятие решений, а 1 – к рациональному принятию решений. Введем  (Лефевр В.А. Формула человека: Контуры фундаментальной психологии. М.: Прогресс, 1991) переменную x1, описывающую меру близости решения к рациональному, так что (x1 = 1) означает полностью рациональный выбор (принятие решения), а (1 - x1)– мера близости к импульсивному (полностью эмоциональному) решению. Будем считать, что внешние обстоятельства толкают субъекта к рациональному решению (x1 = 1), если субъекту представлена полная информация о ситуации, а неполнота информации толкает к импульсивному решению (1 - x1). 
 Определим введенную ранее оценку субъектом ситуации как факт достаточности или недостаточности информации для принятия решения через переменную  x2. Тогда  (x2 = 1) означает, что субъект принятия решения считает, что информации достаточно для принятия решения, она является с его точки зрения полной и достоверной . И тогда (1- x2)- субъективная мера неполноты и недостоверности описания ситуации.
На базе такой субъективной оценки x2 у субъекта принятия решения формируется  стремление (направленность) к рациональному принятию решения –  x3 или к импульсивному (1 - x3). Каждой паре интенций x3 и (1 - x3) можно поставить в соответствие пару         X3, (1 - X3) – готовность субъекта к принятию решения: X3 - мера готовности субъекта к рациональному решению, (1 - X3)- мера готовности к импульсивному решению. 
Теперь  введем оператор, sub x1 x2 (x3), перехода субъекта принятия решения от направленности x3 к готовности к принятию решения X3 на основе оценки достаточности информации x2 и полноты информационного описания ситуации x1:

sub x1 x2 (x3) = X3                 (5.1)

При условии x3 = X3 субъективная интенция превращается в объективную готовность к принятию решения. Теперь можно обсудить некоторые характерные стратегии принятия решений и их оценки на основании введенного выше формализма.
Пусть субъект при некотором уровне информационного описания ситуации  x1 = S и оценке достаточности информации x2 = FS принимает импульсивное решение независимо от своих намерений x3, то эта ситуация описывается оператором вида

sub S FS (x3) = 0              (5.2)

Эта ситуация соответствует точке 2 в координатах рис.8.
Принятие исключительно рационального решения опишется как

sub S FS (x3) = 1               (5.3)

и соответствует точке 4 рис. 8.
Комбинируя описатели ситуации, осознания ситуации, интенции и готовности к принятию решений, можно получать формальные описания целого набора стратегий принятия решений. Так, если x1  = 0 и x2 = 0, то есть, нет доступной субъекту информации о ситуации и он это четко осознает, то оператор вида

sub 00 (x) = 0                 (5.4)

означает, что принимается импульсивное решение («на авось») и соответствует точке 3 рис. 8.
Если x1 = 1 и x2 = 0, то есть имеется полная информация о ситуации, но субъект ее не воспринимает, но тем не менее, готов к принятию решения, то получим 

sub 01 (x) = x                 (5.5)

Пусть x1 < 1,  а  x2 = 1 и 

 sub x1 x2 (x3) = 1           (5.6)
 – то это ситуация принятия рационального решения при неполной информации, или при частичной, но достаточной для принятия решения информации и соответствует точке 1 рис.8.

6.	Модель ориентированного на потребности принятия решений

Если в системе координат «вера (B) – воля (V)» удается построить некоторые последовательности точек, характеризующих соотношение волевой  компоненты и компоненты веры при принятии решений (в количественном смысле) для различных типов принятии решений, то можно говорить о возможности выявления некоторой функциональной зависимости B = f(V). В простейшем случае линейной зависимости получим B = V, где  – некоторая константа. Для  0, и B,V0 – случай содержательного присутствия в решении обеих компонент, различные значения  характеризуют различные типы решений – от чисто рационального при  = 0 до импульсивного при  = 1. Условно сказанное можно проиллюстрировать диаграммами, как показано на рисунке 9:
         B

 = 1

                                                                                V
  
                                    Рис. 9

Структурно процесс принятия решения во внутреннем плане определяется цепочкой «потребность – активность – мотив – цель». При этом в ходе формирования решения может удовлетворяться не одна, а целый спектр потребностей Ri, i =1,…,I. Относительно сформированной цели решения P потребности Ri  характеризуются некоторыми весами wi (P), значения которых определяются лицом, принимающим решение относительно достижения цели P. При этом, потребности внутреннего плана (личные) должны сочетаться с удовлетворением потребностей внешнего плана (социальных) при принятии управленческих решений. 
Определение списка потребностей, наиболее важных с точки зрения достижения данной цели, может быть проведено путем вычеркивания из полного списка потребностей тех, вес которых не превосходит некоторого порогового значения w*. Назначение весов потребностей может вестись непосредственно – путем назначения веса в словесных градациях качества шкалы Sc1: 
< «неважно – 0 баллов», «значимо – 1 балл», «важно – 2 балла», «очень важно – 3 балла», «абсолютная важность – 4 балла»>. 
Может быть организована более простая с точки зрения переборов, но более трудоемкая и менее наглядная процедура попарных сравнений потребностей. 
После того, как организован список актуальных для достижения данной цели потребностей, организуется процедура оценки альтернативных вариантов решения (далее – альтернатив) aj , j = 1, J. Относительно поставленной цели каждая из альтернатив характеризуется некоторым набором признаков, каждый из которых оценивается по соответствующему критерию ql , l = 1, L. Каждому критерию для процедуры построения решения по достижению цели S ставится в соответствие некоторый вес vl , который стандартно определяется в процедуре попарных сравнений важности критериев с точки зрения достижения цели S. Для этого строится квадратная матрица L х L, строки и столбцы которой помечены названиями критериев из списка ql  :

S	q1	q2		qL 	
q1	x11	x12		x1L	
q2	x21	x22		x2L	
					
qL 	xL1	xL2		xLL	

Значения результатов попарных сравнений Xij  в простейшем случае определяются как    

              1,  если qi  важнее  qj   
xij  =       0,  если qi  важнее  qj   
              0,5 если qi   эквивалентно  qj     

и веса критериев затем вычисляются как 

        L
vl  =    Xlj
        j=1     

которые затем нормируются на единицу

               L   
vl‘  =  1 / ∑ vl
                     l=1

Определим важности критериев относительно списка актуальных потребностей {Ri } (с весами wi(P) ). Для этого строится матрица ║Y║ размера L x I , строки которой помечены именами критериев, а столбцы – потребностей:

S	R1	R2		RI 	
q1	y11	y12		y1I	
q2	y21	y22		y2I	
					
qL 	yL1	yL2		yLI	
                                                                                     (6.1)

Здесь yli - оценка лицом, принимающим решения важности критерия ql с точки зрения удовлетворения потребности  Ri , определяемая в шкале Sc1:
 < «неважно – 0 баллов», «значимо – 1 балл», «важно – 2 балла», «очень важно – 3 балла», «абсолютная важность – 4 балла»>. Далее определим приведенные (нормированные на единицу) важности критериев как:

         L                                            yli
Yi  =    yli  , i=1,I            и   y΄li =  ──                      (6.2)
             l=1                                                                 Yi                     

Получим матрицу нормированных на единицу относительных важностей критериев. Теперь организуем процедуру определения степеней удовлетворения каждой из списка актуальных потребностей в случае возможной реализации каждого из вариантов решения aj , j = 1, J. Для этого последовательно фиксируем потребности из списка {Ri}и ведем опрос лица, принимающего решения о том, каковы шансы на удовлетворение данной потребности в случае реализации альтернативы из списка. При этом, наиболее эффективно необходимые данные можно получить, используя оценки шансов удовлетворения потребностей в шкале Sc2 , работающей с оценками типа «80 на 20» или «50 на 50» или «10 к 90». Это наиболее привычные для людей формы выражения числовых оценок. Конечно, можно работать в процентах, или долях единицы. Но предлагаемая методика опроса имеет значительно более высокую эффективность и представительность.
В результате опроса получим матрицу ║Z║:

S	a1	a2		aJ 	
R1	z11	z12		z1J	
R2	z21	z22		z2J	
					
RI	zI1	zI2		zIJ	
                                                                                  (6.3)

Затем, как и ранее, проведем нормировку на единицу элементов каждого столбца:

          I                                               zij
Z j  =    zij  ,  j =1,J            и     z΄ij = ──                  (6.4)
             i=1                                                                      Zj                     

Для того, чтобы получить результирующую оценочную матрицу, из которой можно определить полезности каждой из альтернатив, как взвешенные суммы оценок, необходимо провести процедуру умножения матрицы ║Y║ (6.1) на матрицу ║Z║ (6.3):

       ║T║ = ║Y║ х ║Z║                                          (6.5)

элементы которой определяются по правилу умножения матриц как:
        I                                               
tlj  = ∑ y΄li  z΄ij                                                                                    (6.6)
          i=1       

Значение величин tlj  по сути дела представляет собой сумму произведений оценок степеней удовлетворения потребности Ri при реализации альтернативы                 aj , j = 1,…,J с учетом важности критерия ql , l = 1,…,L относительно потребности Ri .  Матрицу  ║T║ можно представить в стандартном виде:

S	a1	a2		aJ 	
q1	t11	t12		t1J	
q2	t21	t22		t2J	
					
qL 	tL1	tL2		tLJ	
                                                                                   (6.7)

И теперь можно определить полезность каждой из альтернатив как

        L
Uj = ∑ tlj                                                                      (6.8)
          l=1 

И наилучшей считается альтернатива a*, такая, что  U* = maxUj
   J

6.1.	Определение компонентов воли и веры

Вернемся к рассмотрению некоторых свойств, задаваемых операциями над матрицей ║Y║:

S	R1	R2		RI 	
q1	y11	y12		y1I	
q2	y21	y22		y2I	
					
qL 	yL1	yL2		yLI	
С отнормированными элементами y΄li . С одной стороны, для организации некоторых модифицированных процедур поиска предпочтений на множестве альтернатив{aj}можно определить веса критериев с учетом значимостей потребностей, как:

        I
vl = ∑  y΄li wi (P),
          i=1

Например, такая процедура дает возможность отобрать наиболее важные с точки зрения данного списка потребностей критерии, оставляя те, вес которых превосходит некоторый заданный порог v*. 
В качестве оценки коэффициентов , задающих соотношение компонента веры B и волевого компонента V в процедуре выработки решения можно принять

 = B/V

Это можно сделать для каждой из потребностей        Ri, i = 1,…, I, вычисляя  i  как средний коэффициент важности по множеству критериев относительно данной потребности Ri :

           wi                        1   L
 i    = ─     , где  yi° =   ─  ∑ y΄li                   (6.9)
           yi°                        L  l=1                       

Возможный вариант соответствующего множества прямых показан на рис.9. 
Можно также вычислить среднее по всему множеству актуальных для достижения поставленной цели P потребностей значение коэффициента , как

            1   I
     =  ─  ∑ i                                                 (6.10)
            I   i=1               

6.2.	Пример использования модели

Рассмотрим теперь пример использования рассмотренной выше модели принятия решений. Пример касается размещения инвестиций частным лицом. Из списка потребностей (например, модифицированный перечень П6 из Приложения) выберем следующие  потребности:

R1	безопасность	
R2	продолжение рода	
R3	самоутверждение	
R4	причастность к развитию страны	
R5	накопление состояния	

В качестве критериев оценки возможных решений рассмотрим:

q1	ликвидность	
q2	доходность	
q3	надежность	

Каждый из приведенных критериев описывает возможные действия с инвестициями.
В качестве вариантов инвестиций рассмотрим:

a1	банковский вклад	
a2	недвижимость	
a3	золото, драгоценные камни	
a4	ценные бумаги	

В применяемой в рамках данной модели шкале оценок Sc1 важности потребностей имеют значения (экспертная оценка):

R1	абсолютно важно	4	
R2	значимо	1	
R3	значимо 	1	
R4	значимо 	1	
R5	очень важно	3	
                                                                         (6.11)
Нормированные на единицу значения весов имеют значения:

R1	0,4	
R2	0,1	
R3	0,1	
R4	0,1	
R5	0,3	

Матрица (6.1) экспертных оценок значимости критериев для удовлетворения потребностей из выделенного списка имеет вид:
S	R1	R2	R3	R4	R5	
q1	4	0	2	0	3	
q2	1	4	4	1	4	
q3	4	3	3	0	4	

                                                                            (6.12)
И матрица нормированных на единицу (по столбцам) значений важностей (6.2) имеет вид:

S	R1	R2	R3	R4	R5	
q1	0,44	0	0,22	0	0,21	
q2	0,12	0,57	0,44	1	0,36	
q3	0,44	0,43	0,34	0	0,36	
Экспертные (6.3) оценки степени удовлетворения потребностей в случае реализации каждой из альтернатив в шкале оценок шансов Sc2 имеют вид:

S	a1	a2	a3	a4	
R1	70	90	90	50	
R2	50	100	50	70	
R3	80	90	90	70	
R4	90	10	10	60	
R5	90	10	10	90	

Так, например, оценка того, что банковский вклад является безопасным, равна «70 к 30». 
Соответствующая матрица отнормированных (6.4) значений (по строкам) имеет вид:

S	a1	a2	a3	a4	
R1	0,23	0,3	0,3	0,17	
R2	0,19	0,37	0,19	0,25	
R3	0,24	0,27	0,27	0,22	
R4	0,53	0,06	0,06	0,35	
R5	0,45	0,05	0,05	0,45	

Соответственно произведение матриц (6.5) имеет вид:

S	a1	a2	a3	a4	
q1	0,25	0,2	0,2	0,25	
q2	0,92	0,45	0,35	0,67	
q3	0,4	0,32	0,29	0,41	

И суммарные оценки альтернатив (6.8) имеют вид:

a1	a2	a3	a4	
1,57	0,97	0,84	1,33	
То есть наиболее предпочтительным является первый вариант – банковский вклад.
Теперь исследуем вклады каждого из компонентов - волевого и веры, в процесс принятия решения.
Вычислим вначале значения yi° ,i=1,...,5 на основании соотношения (6.9) из таблицы (6.12):

y1°	y2°	y3°	y4°	y5°	
3	2,33	3	0,33	3,67	

Теперь нетрудно получить значения коэффициентов I в соответствии с (6.9), пользуясь значениями из вышеприведенной таблицы и таблицы (6.11). Получим следующие значения:

1	2	3	4	5	
1,33	0,43	0,33	1	0,82	

И коэффициент  на основании (6.10) имеет значение для рассмотренного примера
 = 0,78
Это означает, что рациональный (волевой) компонент имел больший вес в данном примере принятия решения. Выводы о соотношении компонентов воли и веры в привязке к удовлетворению каждой из выделенных потребностей можно сделать на основании анализа приведенной выше таблицы.

7. Оценка качества решений

Для оценки качества принимаемого решения может быть привлечена энтропийная оценка специального вида. Но для этого вначале уточним значение понятий информации и энтропии.

7.1. Информация и энтропия

В соответствии с Федеральным законом об информации, информатизации и защите информации, информация - сведения о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах независимо от формы их представления; с другой стороны Ф.Л.Бауэр, Г.Гооз  вводят понятия сообщение и информация как неопределяемые основные понятия и разъясняют их использование на ряде примеров. Кроме того, одно и то же сообщение, по-разному интерпретированное, может передавать разную информацию. Особенно отчетливо связь между сообщением и информацией видна в криптографии: здесь никто посторонний не должен суметь извлечь информацию из передаваемого сообщения…  В то же время, А.Д.Урсул отмечает, что «Сама информация в шенноновской теории понимается …как … снимаемая, уменьшаемая неопределенность. С другой стороны, - конкретизация содержания привела к одновременному расширению объема понятия – информация характеризовала теперь не только аспект человеческого общения, но и коммуникативных явлений в технике, биологических и других процессах. Всюду, где имеют место различные возможности, из которых реализуется, переходит в действительность, приобретает бытие только одна, имеет смысл говорить об информации, которую несет с собой эта реализовавшаяся возможность.» Необходимо отметить…«возможность существования не одного какого-либо вида информации, а множества ее видов, специфических проявлений. Если считать, что информация присуща и объектам неживой естественной природы, то наиболее существенный ее признак надо искать в ее связи со структурой, упорядоченностью, организацией и т.п. Разделение информации на субъективную и объективную проводится по гносеологическому признаку. Объективная информация не является возможностью для самой материи, а возможностью лишь для субъекта, который может ее воспринять и использовать. Энтропия трактуется как определенная характеристика вопроса, выраженного в форме суждения. В статистическом случае количество информации может характеризовать исход опыта, но исход опыта представляет интерес не сам по себе, а как поиск ответа на некоторые вопросы. Для выявления энтропии вопросов различного типа используется понятие условных вероятностей высказываний (гипотез) при наличии некоторого множества истинных суждений. Количество информации, которое содержит суждение по отношению к некоторой проблеме, определяется тем, насколько доказательство или допущение истинности этого суждения уменьшает энтропию проблемы. Совпадение формул энтропии, применяемой в физике и формулы количества информации, введенной К.Шенноном (с точностью до знака) характеризуют и в том и в другом случае меру упорядоченности отражения, движения».

7.2. Энтропия как мера оценки качества решений

Существует возможность определить энтропию в форме, пригодной для нужд анализа и оценки деятельности по принятию решений. Полагаем, что любая система S функционирует для достижения некоторой цели P, результат функционирования обозначим через R. (Целью деятельности системы – например, коллектива экспертов, может быть и формирование решения некоторой проблемы). Естественно, что результат необходимо оценить. Процедура оценки как правило  многоаспектна (имеет как количественный, так и качественный аспект). То есть результат оценивается с разных сторон, с точки зрения его различных характеристик, показателей и пр. Можно говорить, что результат R оценивается по N критериям оценки качества q1, q2,… qN , так что q1(R ) = x1, q2(R ) = x2, …, qN(R ) = xN. Как и ранее, введем также веса, или коэффициенты важности критериев w1, w2, …, wN, так что 

                    N
                    Σ  wi = 1			(7.1)
                             i= 1

Считаем, что известны идеальные значения оценок x* = (x1*, x2*, …, xN*), например, как заданные стандарты или нормативы.
Теперь можно ввести понятие энтропии системы S с точки зрения получения результата R по намеченной цели P, как
                    Ν    xi*- xi
             I =  Σ │ ——│wi                                         (7.2)
                         i= 1      xi* 
Очевидно, что I = 0 при условии, что система идеально отслеживает цель, то есть достигается идеальный результат функционирования. 
Отметим попутно, что если оценки качества достижения цели xi определяются по одной из качественных шкал, противоречие может быть снято путем использования, например, подходов в рамках нечеткой логики, когда словесным градациям качества ставятся в соответствие лингвистические переменные, значения функций принадлежности отдельных термов которых имеют числовую интерпретацию.
Обычно говорят о дереве целей системы, то есть когда цель   P иерархируется в некоторое дерево целей, так что цель P порождает подцели первого уровня P11 ,   P12 , …,   P1k1 . В свою очередь   подцели первого уровня  P1i , i = 1, …,  k1 порождают подцели  второго уровня, так что 

  P1i  → P21 (i) , P22 (i) ,…, P2k (i) 

  P2j(i)   → P31 (ji) , P32 (ji) ,…, P3k (ji)								                            (7.3)

  P3 l (ji)   → P41 (jil) , P42 (jil) ,…, P4 m (jil) 

                                  P

    P11 ,         P12 ,     …,      P1i  , ….             P1k

                       P21 (i) ,   P22 (i) ,…,        P2j(i)                    P2k (i)

                                     P31 (ji) ,    P32 (ji) ,…,          P3 l (ji)                 P3k (ji)

                                            P41 (jil) ,    P42 (jil) ,…,        P4 m (jil) 

Тогда энтропия I при двухуровневой иерархизации определяется как
       	   k
I (P) = Σ I( P1i ) ,			(7.4)
        	  i=1

где энтропия I( P1i ) считается по введенному выше правилу (7.2).
Качество достижения каждой из подцелей P1i   оценивается по критериям 
q1, q2,… qNi  , так что  получаем вектор оценок   
x(i) = (x1(i), x2(i),  …, xNi(i)). 
И далее энтропия I( P1i ) по подцели  P1i  вычисляется как

                             Νi     xj*(i)- xj(i)
    I( P1i ) =  ∑  │ ──────│wj(i)	            (7,5)
                         j= 1      xj* (i)

Целью деятельности системы может быть  разрешение некоторой проблемы, для чего и строится сценарий решения, базирующийся на дереве целей. При этом ищется прототип решения в виде типового сценария, и соответственно типового дерева целей. В крайнем случае опираются на некоторые аналоги решения проблем в других предметных областях. 

7.3. Сценирование решений

Сценирование решений является одним из важнейших элементов в организации процедуры принятия решения, как фактора согласования деятельности во внешней форме. Расписать решение как план совместной деятельности является основным лейтмотивом разработки сценария.
Будем говорить, что на основе дерева целей P порожден сценарий C, если для каждой вершины дерева целей известно:
ЧТО это за подцель (задача),
КТО решал (решает) данную задачу (достижения подцели),
КОГДА решена (решается) эта задача,
ГДЕ решается,
КАК решена (решается) задача (какими силами, средствами, ресурсами).
Более того, по каждому компоненту из типового списка 
C: = «ЧТО, КТО, КОГДА, ГДЕ, КАК» 
могут быть альтернативные варианты:
ЧТО еще ?, КТО еще?, КОГДА еще ?, ГДЕ еще ?, КАК еще ?.
Если энтропия решения I(R) >> 0, то есть решение значительно отличается от идеального, то ищут вершины решения (по дереву целей и гомоморфному ему дереву решений), в которых отклонения наиболее значительны, а уже в этих вершинах определяют причины срывов:
ЧТО не получилось, КТО не обеспечил реализацию решения, КОГДА реализовано решение и причина срыва сроков, ГДЕ реализовано решение и в чем отклонения, КАК было реализовано решение и в чем отклонения  от запланированных методов, способов, видов использованных ресурсов. 
Построение дерева целей – во многом процесс неформальный, творческий. А вот определение компонент типового списка по каждой задаче ведется, как правило, при активном использовании информации из соответствующих баз данных путем получения ответов на запросы к БД. Специально отметим в качестве важнейшей технологию формулировки и предъявления вопросов для выявления терминов, затем понятий и концептов, а также связей между ними. 
Отметим, что сборку решения, как планов реализации задач-целей снизу вверх по дереву целей можно формально описать в нотациях правил продукций. Например, для двухуровневого дерева целей правило оценки достижимости цели P1i можно записать:
(ЕСЛИ P21(i)  И P22(i)  И P23(i)   …., ТО P1i).
И, ЕСЛИ подцель P21 (i) достигнута с энтропией I( P21(i) ) < I0  и подцель P22 (i) достигнута с энтропией  I(P22 (i)  ) < I0   и … и подцель P22 (i) достигнута с энтропией I(P2k (i)  ) < I0  , ТО можно считать цель  P1i  достижимой (где I0 – некоторый допустимый уровень энтропии).

7.4. Работа с операциональными понятиями

Формирование понятий является одним из самых непростых вопросов из сферы изучения человеческой психики. Остановимся несколько подробнее на формализации описания работы с «операциональными» понятиями, отличающими от теоретических понятий в первую очередь тем, что процедуры работы с ними базируются на связке «объект – действие» . Рассмотрим пример оперирования с понятием «работник» менеджера по кадрам, принимающего решение о приеме на работу. Приведем фрагмент соответствующей «пирамиды» понятий, спроецированной на плоский граф, фрагмент которого показан ниже.

                                    «работник»

            «специалист»      «социальный статус»          

 «образование»      «опыт» «отношения с    «отношения в
                                               коллегами»        семье»

«специальная «знания иност-  «общение»     «авторитет»  подготовка»     ранных языков»

В смысле данного примера понятие «работник» базируется на двух понятиях – «специалист» и «социальный статус». То есть, принятие решения о найме на работу зависит от того, каким специалистом является данный претендент, и каков его социальный статус. Уровень специалиста зависит от его образования и опыта работы. В свою очередь образование базируется на специальной подготовке – подготовке по данной отрасли деятельности, общей подготовке, из которой выделено знание иностранных языков. 
Понимая, что вершины дерева понятий являются по сути некоторыми событиями в жизни каждого индивидуума и осознаются только по мере деятельностного освоения – понять по-настоящему, что такое образование можно, только получив его, -  мы можем с каждой вершиной связать некоторый факт. И тогда процедуру обоснования, наполнения конкретным содержанием понятий верхнего уровня через понятия нижнего уровня можно представить как систему правил продукций вида:

R 1.1. ЕСЛИ <специальная подготовка = да>И<знание иностранных языков = да>,
           ТО<образование = да>
R 1.2. ЕСЛИ <образование = да>И<опыт = да>,
           ТО<специалист = да>
R 2.1. ЕСЛИ <общение = да>И<авторитет = да>,
           ТО<отношения в коллективе = да>
R 2.1. ЕСЛИ <отношения в коллективе = да>И<отношения в семье = да>,
           ТО<социальный статус = да>
R 0.1. ЕСЛИ <специалист = да>И<социальный статус = да>,
           ТО<работник = да>

Понятно, что приведенный фрагмент графа понятий является неполным. Например, можно ввести подчиненную вершине «работник» вершину «характер» и т.п. Вместе с тем, некоторые из вершин могут иметь альтернативные понятия.
При принятии решений менеджер по кадрам может пользоваться совершенно разными стратегиями в смысле оценки ситуации, интенции к решению, готовности и типа решения – от импульсивного до рационального.  Но тем не менее, можно утверждать, что структура сборки решения соответствует дереву понятий и соответствующим образом выстроенной цепочки вывода, пример которой показан выше. Правило вывода – это фрагмент процедуры принятия решения. Форма применения этого правила – особенности психической деятельности данного субъекта принятия решения. Реализация некоторого события E в форме факта F – объективное влияние x1 на субъекта принятия решения, которое им осознается наличие события (факт) x2  и его значение (вес)  w. Менеджеры по кадрам, также как и бухгалтерские работники, менее всего склонны принимать решения на основе минимальной информации и импульсивно. То есть для них характерным оператором является оператор вида

 Sub S FS (x3) = 1

Например, для правила R 1.2. ситуация S описывается как S = F1И F2 , где
F1 = <образование = да>
F2 = <опыт = да>
Качество принимаемого решения или фрагмента решения можно оценить в соответствии с введенной выше энтропийной оценкой, если известны наилучшие образцы поведения. Например, пусть оценивается использование при принятии решения правила R 1.2. И идеальным является выбор претендента с законченным высшим образованием и опытом работы не менее 10 лет. И пусть веса (важности) обеих компонентов равны 0,5. Если претендент имеет опыт работы 5 лет, то получим оценку 0,5 * 0,5 = 0,25 при идеальной  = 0.
Итак, можно говорить, что процесс принятия решения складывается из трех основных компонентов:

 - стратегия (алгоритм) принятия решений (цепочка вывода)
 - тип поведения в ситуации принятия решения (от импульсивного до рационального)
- качество принимаемых решений (их полнота и близость к оптимуму)